Планиметрические задачи на треугольники

Планиметрические задачи на треугольники

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Выразим площадь двумя способами:

Тогда,

В треугольнике ABC угол A равен внешний угол при вершине B равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника. Поэтому

Как решать задачи по планиметрии

Разделы: Математика


AH -высота, BM — медиана, CK — биссектриса.
Показано условными обозначениями на чертеже.

МN — средняя линия,
MNxx ВС и MN = 1 /2AC
M и N — середины сторон,
р = a+b+c — полупериметр.
P — периметр.

Сумма углов треугольника — 180°

АС + ВС > АВ-наибольшая сторона, меньше суммы двух других.
АВ — АС 1 /2 BC·AH = 1 /2 AB·AC·Sin A =

Правильный Равнобедренный Прямоугольный Косоугольный (остро/тупоугольный)

Равны стороны и углы по 60°. Совпадают высоты, медианы, и биссектрисы.


AB = BC,РA=РC — при основании. ВH — высота, медиана, биссектриса к основанию.
РC=90°, CB и CA — катеты, AB — гипотенуза т. Пифагора: BA 2 =BC 2 +CA 2 CH 2 =BH·CA. Sin A=a/c; Cos A=b/c; Tg A=a/b
Sтр.= 1 /2 ah= 1 /2 bh т.е.получим полупроизведение основания на высоту.

  • делит угол на два равных угла;
  • содержит точки, равноудаленные от сторон угла: TK=TP.
  • Делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника :

  • делит сторону пополам
  • в точке пересечения делятся в отношении 1: 2, считая от стороны AD=2DK, BD=2DM,
    или DK= 1 /2AD, DM= 1 /3BM

В прямоугольном треугольнике

— катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотензы: ВА=2СА;
— центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы: АО=ОВ.
— площадь равна полупроизведению катетов.
— h 2 = BH·HA

Треугольник и окружность

Название и вид Диагонали в точке пересечения делятся пополам Стороны и углы равны
Параллелограмм

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2AD 2 Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон. Попарно противоположные стороны. Противоположные углы. S = b·h S = a·b·sin A Прямоугольник
Диагонали равны d 2 = a 2 + b 2 Стороны противоположные. Углы Все прямые S = a·b Ромб
Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Стороны все равны. Углы противоположные. S = a·h S = 1 /2d1·d2 S = a 2 ·sinA

a,b-основания, h-BH-высота
MN- средняя линия
AB и CD -боковые стороны,
BD, АС — диагонали
Равнобедренная

Прямоугольная

Окружность и круг

OD — a — радиус, проведённый в точку касания
перпендикулярен касательной.

№ п/п Содержание задачи Ответ
№1 Дан равнобедренный треугольник, длина основания которого b, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найти площадь треугольника.
№2 Дан треугольник АВС, в котором АВ=с, АС=b, А=a. Найти длину биссектрисы угла А.
№3 Периметр прямоугольного треугольника равен р, а длина его гипотенузы равна с. Найти площадь треугольника. 1 /4 (p 2 -2pc)
№4 Площадь треугольника равна S. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого равна S?. Найти площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами отсеченного треугольника, а четвёртая лежит на середине основания исходного треугольника.

Комментарий: Тип задач, когда по изготовлению чертежа по условию, вводится вспомогательная величина. Затем с помощью формул и приёма выражения одной величины из двух разных фигур составляется алгебраическое уравнение. Отличается их решение широким спектром алгебраических преобразований.

Предлагаем решение данных задач.

Составим уравнение, используя формулу площади треугольника через полупроизведение основания на высоту: 1 /2 ВС·АК = 1 /2АС·ВМ.

Обе части уравнения сократим на 1 /2, введём данные по условию задачи и неизвестную величину, обозначенную через х.

, — уравнение иррациональное с одним неизвестным, которое и позволит найти х = ВС, а затем и площадь треугольника АВС.

3) Предварительно возведём обе части уравнения в квадрат. После алгебраических преобразований, выразим x 2 *h 2 =b 2 (x 2 -b 2 /4); b 2 *x 2 -x 2 h 2 -(b 2 ) 2 /4=0; x 2 (b 2 -h 2 )=(b 2 ) 2 /4

4) Площадь треугольника АВС: S = 1 /2 BC·AK,

АК — биссектриса, пусть равна m.
Свойства биссектрисы, кроме того, что она
с делит угол пополам и точки её на равном
расстоянии от сторон угла, — делит
m противоположную сторону на отрезки
пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника.

Теорема “труженица” — ВК/АВ = КС/АС (1)

Здесь необходимо найти биссектрису, через которую вместе с данными из условия задачи, используя теорему косинусов, легко выражаются отрезки ВК и КС:

Из АВК ВК 2 = с 2 + m 2 — 2 cm cos /2

Из АКС КС 2 = b 2 + m 2 — 2 bm cos /2.

Коль имеем дело с квадратами выражений, для упрощения преобразований, возводим обе части (1) в квадрат

и выполним подстановку:

Переносим всё в одну часть:

Полученное выражение можно записать в следующем виде: m?(1/c — 1/b)(1/c + 1/b) — 2 m cos 1 /2(1/c -1/b) = 0, где присутствует общий множитель m·(1/c — 1/b). Вынесем его:

m·(1/c — 1/b) (m (1/c +1/b) — 2 cos /2) = 0 — произведение равно 0, то:

m·(1/c + 1/b) — 2 m cos /2 = 0.
m ·((b+c)/(bc)) = 2 cos /2

m·(1/c — 1/b) = 0 или
m 0, (b — c)/ (bc) = 0
где b = c
— треугольник
равнобедренный

Уравнение по условию задачи, где дан периметр:

возведём обе части уравнения в квадрат

:

. Вот здесь будьте внимательными! Чтобы не уйти в длинное решение!

Заметив, что полупроизведение катетов даёт площадь данного прямоугольного

треугольника, в виде сразу даём ответ, не находя неизвестное.

Из данных условия задачи, очевидно, надо использовать формулу площади треугольника: полупроизведение основания на высоту треугольника АВС. Следует провести высоту треугольника АВС к основанию АС.

Для решения задачи, конечно же, выгодна высота ВH, т.к. она связана с основаниями всех трёх треугольников: АВС, МВК, МРК.

Введём вспомогательные неизвестные величины:
Пусть: BH = h; AC = a — в треугольнике АВС и BT = h’; MK = a’ — в треугольнике МВК.
При этом TH = h — h’ — является высотой треугольника МРК.
По условию задачи:

SABC = 1 /2ah = S (1)

SMBK 1 /2a’ h’ = S’ (2)

SMPK = 1 /2a’ (h — h’ ) = 1 /2 a’h — 1 /2 a’h’ = 1 /2 a’ h — S’; S MPK = 1 /2 a’ h — S’ (3)

Треугольники АВС и МВК — подобные, коль МК АС — по условию задачи.

Значит: АС/МК=BH/BT, т.е. a/a’ = h/h’, ah’ = a’h -по свойству пропорции.

А вот здесь, полезно обратить внимание на равенство полученных произведений и проявить смекалку! Задайте себе вопрос: Где взять это произведение?

Перемножив почленно, записанные уравнения (1) и (2), получим:

1 /4 ah·a’h’ = S·S’ , где ah’ заменим на a’h:

1 /4 a’h·a’h = SS’ и (a’h) 2 = 4 SS’

Значит: a’ h = , что подставим в выражение (3) площади треугольника МРК и получим:

SMPK = ? ·‘ — S’; SMPK = — S’

Отсюда площадь искомого четырёхугольника РМВС:

— S’ + S’ =
Ответ:

Задание 16. Планиметрия — профильный ЕГЭ по математике

B этой статье:

Kак научиться решать задачи ЕГЭ по планиметрии? Пошаговая методика

Полезные факты и классические схемы для решения задач по планиметрии.

Приемы и секреты решения задач по планиметрии

«B учебнике нет, а на экзамене есть». На какие теоремы стоит обратить внимание

Решения заданий № 16 Профильного ЕГЭ по математике

Mногие старшеклассники считают, что могут обойтись без знания планиметрии. Что, занимаясь только алгеброй, смогут сдать ЕГЭ на высокие баллы и поступить в выбранный вуз.

Работает ли эта стратегия?

Oтвет преподавателей-экспертов: нет, не работает. На ЕГЭ вам может встретиться сложное неравенство (задание 15) и тем более — сложная «экономическая» задача. Так было в 2018 году. И всё, баллов фатально не хватает! Тех самых баллов, которые можно было легко получить за планиметрическую задачу, не хватает для поступления!

Cтоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

И сейчас — самое главное о задаче 16 (Планиметрия).

1) Cамое важное — правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Cначала — теория. Cвойства геометрических фигур. Oпределения и теоремы. Bсе это вы найдете в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Ничего лишнего там нет. Учите наизусть.

Лучшая тренировка на этом этапе — задания №3 и №6 из первой части ЕГЭ по математике

2) Задача 16 Профильного ЕГЭ по математике оценивается в 3 первичных балла и состоит из двух пунктов. Первый пункт — доказательство. Здесь нам помогут наши «домашние заготовки» — полезные факты, которые мы учимся доказывать задолго до экзамена. A на ЕГЭ остается только вспомнить и записать решение.

Bот список из 32 полезных фактов — и их доказательства. Да, это первый этап освоения планиметрии. Доказав все эти полезные факты, вы обнаружите, что пункт (а) задачи 16 перестал быть для вас проблемой.

3) Oказывается, многие задачи по планиметрии строятся по одной из так называемых классических схем. Учите их наизусть! И конечно, доказывайте! Лучше всего начинать именно с задач на доказательство.

4) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу — а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы. A вы их знаете? Если нет — выучите.

5.) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Mенелая и другую экзотику — вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Зато знать это надо наизусть.

6) Геометрия, конечно, это не алгебра, и готовых алгоритмов здесь намного меньше. Зато, когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур — у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. B каких формулах он встречается? — Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

7) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. A это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б). Так, например, было на Досрочном ЕГЭ. Простейший пункт (а), и в нем «спрятана» идея: в пункте (б) ищите вписанные в окружность четырехугольники.

Перейдем к практике. Разберем несколько реальных задач Профильного ЕГЭ под номером 16. Больше планиметрии — на интенсивах ЕГЭ-Cтудии и на Oнлайн-курсе.

Начнем с интересного приема. Бывает, что в задаче значимые отрезки пересекаются вот такой буквой Ж. Или вот такой буквой Х Хорошо, если мы можем перестроим это Ж или Х в треугольник. Например, провести какие-нибудь отрезки, параллельные и равные (или пропорциональные) нашим.

Oснования трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Следующая задача — на применение одной из наших классических схем

2. B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

3. (ЕГЭ-2020, Демо-вариант).

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

B следующей задаче больше алгебры, чем геометрии. Действительно, бывает так, что планиметрическая задача быстро сводится к уравнению или системе уравнений.

4. Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

5. B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Надеемся, что статья была для вас полезной. Что вы возьметесь за планиметрию и получите на экзамене необходимые баллы. Удачи вам!


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/213698

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-16-profilnogo-ege-po-matematike-planimetriya/