План доказательства равенства треугольников

Как доказать, что треугольники равны

Как доказать, что треугольники равны? Для этого надо знать признаки равенства треугольников и уметь определять в треугольниках равные стороны и равные углы.

Очень удобный и эффективный инструмент, облегчающий доказательство равенства треугольников, — визуализация задачи. Выделение треугольников разными цветами помогает лучше понять условие и может подсказать ход решения. Если у треугольников есть общий угол либо общая сторона, цветовая визуализация позволяет сразу же увидеть это.

Рекомендую завести специальную тетрадь для записи теоретического материала.

На отдельных страницах запишите:

План доказательства равенства треугольников.

1) Определяем, какие именно треугольники равны (название треугольников).

2) Выделяем треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

3) Отмечаем на чертеже стороны и углы, равенство которых дано по условию.

4) Проверяем, есть ли у данных треугольников общая сторона либо общий угол.

5) Анализируем, что имеем с точки зрения признаков равенства треугольников. Например, если у треугольников уже есть две пары равных сторон, то нужно доказывать либо равенство углов между этими сторонами, либо равенство третьей пары сторон.

6) Если треугольники имеют прямой угол, используем признаки равенства прямоугольных треугольников.

7) Ищем недостающие пары равных углов или равных сторон ( при необходимости используем подсказки).

8) Если данных недостаточно, выясняем, можно ли доказать равенство других треугольников, чтобы из него получить равенство сторон или (и) равенство углов для наших треугольников.

9) Если необходимо, проводим дополнительные построения.

На следующем этапе на конкретных задачах рассмотрим, как доказывать, что треугольники равны.

5 Comments

Большое спасибо:) информация очень полезная)) теперь хоть умею доказывать равенство треугольников

Эля, я рада, что эта информация помогла Вам разобраться в данной теме. Желаю дальнейших успехов в изучении геометрии!

Спасибо огромное очень помогло наконец научился доказывать равенства треугольников!

Спасибо вам большое) наверно из всех сайтов про геометрию выбираю только ваш.Очень подробно и хорошо объясняетте. ещё спасибо за то что ваш сайт и вы помогли мне подняться с оценками по данному предмету. СПАСИБО!

Alex, желаю Вам дальнейших успехов в освоении геометрии!

Алгоритм решения задач на доказательство равенства треугольников

Проблемы преподавания геометрии в 7 классе общеизвестны. Учителю необходимо добиться, что бы ученики осознали необходимость доказательства различного рода положений; выработать у них навык решения таких задач.

Единство теории и практики — один из основных принципов преподавания геометрии. Решению задач отводится большая роль. Задачи по геометрии следует решать не от случая к случаю, а повседневно, на каждом уроке, в тесной связи с изучаемой теорией. На уроках геометрии надо чаще решать задачи на доказательство и построение. Очень важно научить ученика понимать чертеж, выделять на чертеже необходимые детали. Часто ученик не понимает содержание теоремы или решение задачи из-за того, что не видит отчетливо на чертеже те фигуры, о которых идет речь и рассмотрение которых дает решение вопроса.

Я предлагаю для обучения учащихся решению задач на доказательство равенства треугольников воспользоваться следующим алгоритмом, который содержит некоторые подсказки, помогает отыскать на чертеже необходимые для доказательства фигуры.

Алгоритм решения задач на доказательство равенства треугольников

1. РАССУЖДАЕМ

Чтобы доказать, что два треугольника равны, необходимо найти три пары соответственно равных элементов:

  • две стороны и угол между ними (1 признак)
  • сторону и два прилежащих к ней угла (2 признак)
  • три стороны (3 признак)

Равные элементы (стороны или углы) могут быть указаны в условии задачи, либо анализируем чертёж (вертикальные углы, общая сторона, биссектриса угла, медиана в треугольнике или середина отрезка). Равные элементы необходимо отметить на чертеже – это облегчит рассуждения.

2. ЗАПИСЫВАЕМ РЕШЕНИЕ

Рассмотрим треугольник… и треугольник….

Значит треугольник… равен треугольнику… по (указать признак равенства треугольников)

Итак, как выписать равные элементы.

1. Выписываем те элементы, равенство которых дано в условии.

2. Недостающие равные углы можно получить из следующих условий:

(по св-ву вертикальных углов)

DC – биссектриса. Это означает равенство углов:

(т. к. DC – биссектриса)

RO – высота. Это означает равенство углов:

(т. к. RO – высота)

RO QP . Это означает равенство углов:

(т. к. RO QP )

Для треугольников ВСЕ и АС D угол С общий:

— общий

Углы, смежные с равными – равны.

(как смежные с равными)

Недостающие равные стороны можно получить из следующих условий:

RO – медиана. Это означает равенство отрезков, сторон:

QO = OP (т. к. RO – медиана)

O – середина отрезка QP . Это означает равенство отрезков, сторон:

QO = OP (т. к. O – середина QP )

Кроме того, равенство сторон или углов треугольников может следовать из равенства других треугольников .

Пример оформления задачи.

В

Дано: ВО= OD , АО=СО С

Док-ть: О

Доказательство:

ВО= DO (по усл.) по 1 признаку

(верт.)

Признаки равенства треугольников

О чем эта статья:

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.


источники:

http://mega-talant.com/biblioteka/algoritm-resheniya-zadach-na-dokazatelstvo-ravenstva-treugolnikov-97630.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/priznaki-ravenstva-treugolnika