Пирамиды является прямоугольный треугольник

699. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной

699. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды.

Тогда, ОА=ОВ=ОС. Точка О равноудалена от вершин ΔАВС, таким образом, является

центром описанной около ΔАВС окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это середина гипотенузы.

(т.к. плоскости А1В1С1 и АВС параллельны по условию, таким образом,

— имеют общий острый угол при D,

Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому

Вычислим высоту усеченной пирамиды О1О.

ΔADB — равнобедренный, DA=DB=25 дм. Из треугольника ΔDOB:

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №699
к главе «Глава VII. Объемы тел. § 3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса».

Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. Тетраэдр

Факт 1. Про произвольную пирамиду \(PA_1A_2. A_n\)
\(\bullet\) Многоугольник \(A_1. A_n\) – основание;
треугольники \(PA_1A_2, PA_2A_3\) и т.д. – боковые грани;
точка \(P\) – вершина;
отрезки \(PA_1, PA_2, . A_1A_2\) и т.д. – ребра.
\(\bullet\) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется \(<\color<<\small<тетраэдром>>>>\) .
\(\bullet\) \(<\color<<\small<Правильный \ тетраэдр>>>>\) — это треугольная пирамида, все грани которой – равносторонние треугольники.
\(\bullet\) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины \(P\) к основанию.
\(\bullet\) \(<\color<<\small<Объем \ пирамиды>>>>\) \[<\color<<\large<3>S_<\text<осн>>h>>>>\] где \(S_<\text<осн>>\) – площадь основания, \(h\) – высота пирамиды.
\(\bullet\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

\(\bullet\) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Факт 2. Про прямоугольную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ( \(SR\) ) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
\(\bullet\) Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ( \(\triangle SMR, \triangle SPR\) ).

Факт 3. Про правильную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

\(\sim\) боковые ребра равны;
\(\sim\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\(\sim\) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
\(\bullet\) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

\(\bullet\) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.


источники:

http://shkolkovo.net/theory/157

http://egemaximum.ru/piramida/