Пирамида лежит прямоугольный треугольник

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4. Вершина пирамиды удалена от каждой стороны

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,283
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,073
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Пирамида лежит прямоугольный треугольник

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 6, острый угол равен 30°. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом, равным . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, тогда один из катетов равен 3.

Найдем длину второго катета по теореме Пифагора: Тогда площадь основания равна

Основание представляет собой сумму проекций боковых сторон, таким образом

Пирамида

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2. A_n\) и \(n\) треугольников с общей вершиной \(P\) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2. A_n\) .
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием, точка \(P\) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;

\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды \(PH\) . Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\) . Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH\) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n\) . Значит, \(A_1H=A_2H=. =A_nH\) . Значит, точки \(A_1, A_2, . A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2. A_n\) .

2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\) .

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=. =\angle PA_nH\) .

3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\) .

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n\) .

4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\) .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ( \(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, . \) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, . \) равны.

5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\) .

Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, . \) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=. =HK_n\) . Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_<\text<пирамиды>>=\dfrac13 S_<\text<осн>>\cdot h\]

Следствия

Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_<\text<прав.треуг.пир.>>=\dfrac<\sqrt3><12>a^2h\) ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_<\text<прав.четыр.пир.>>=\dfrac13a^2h\) .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_<\text<прав.шест.пир.>>=\dfrac<\sqrt3><2>a^2h\) .

4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_<\text<прав.тетр.>>=\dfrac<\sqrt3><12>a^3\) .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3. A_n\) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ( \(PB_1B_2. B_n\) ), а другой называется усеченная пирамида ( \(A_1A_2. A_nB_1B_2. B_n\) ).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2. A_n\) и \(B_1B_2. B_n\) , которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.


источники:

http://math.reshuct.by/problem?id=1323

http://shkolkovo.net/theory/94