Пирамида конус и треугольник

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус
Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n — угольной пирамиды

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

Определение 1. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в конус, то конус называют описанным около пирамиды.

Замечание. Если пирамида вписана в конус, ее боковые ребра равны и являются образующими конуса, вершина пирамиды лежит на оси конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность;
  2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр описанной около основания пирамиды окружности.

Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, вписанной в конус, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, описанного около пирамиды.

Теперь рассмотрим пирамиду SA1A2 . An , для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что около нее можно описать конус.

Пусть O – центр круга, окружность которого описана около основания A1A2 . An пирамиды. Поскольку отрезок SO перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды S , мы получим конус с осью OS, описанный около пирамиды SA1A2 . An (рис. 2).

Поскольку около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.

Теорема 2. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны.

Доказательство. Действительно, если пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра являюся образующими конуса, и, значит, равны между собой.

Рассмотрим теперь пирамиду SA1A2 . An высоты h , у которой все боковые ребра

и докажем, что около ее основания можно описать окружность. Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды (рис. 3).

Все прямоугольные треугольники SOA1 , SOA2 , . , SOAn равны, поскольку у них равны гипотенузы SA1 , SA2 , . , SAn , а катет SO является общим. Следовательно,

Отсюда вытекает, что многоугольник A1A2 . An вписан в окружность с центром в точке O . Радиус этой окружности можно найти по теореме Пифагора

.

По теореме 1 около такой пирамиды можно описать конус.

Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной
n — угольной пирамиды

Задача. Найти отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n — угольной пирамиды.

Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

,

Поскольку площадь правильного n — угольника выражается через радиус R описанной около этого многоугольника окружности по формуле

то справедливо равенство

Ответ.

Следствие 2. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Следствие 3. Отношение объема правильного тетраэдра к объему конуса, описанного около данного тетраэдра, равно

Следствие 4. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Следствие 5. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

Пирамида и конус

Пирамида и конус являются близкими по значению символами, связанными с горой. Пирамида, обладая широким основанием и заканчиваясь пиком, традиционно символизирует иерархию и единство. Она, как и конус, является знаком стремления вверх. Пирамида состоит из четырех треугольников и имеет в основании квадрат, вбирая в себя символизм этих фигур. Точно так же обстоит дело и с конусом, который сбоку выглядит как треугольник, а в основании содержит круг. Это обстоятельство значительно усиливает символическое значение пирамиды и конуса, которые, кроме всего прочего, одновременно являются и женским и мужским символом.

Основание пирамиды — это земля, ее грани — огонь и божественный принцип творения, острая вершина — высшая точка развития. Ступенчатая пирамида символизирует иерархическую структуру космоса и разные уровни сознания.

Индусы и буддисты верят, что священная гора Меру, которую помещают в центр мандалы, имеет форму правильной семисторонней пирамиды. Эти стороны символизируют семь планет, семь добродетелей и семь цветов радуги. Гопура — надвратная башня при входе в южноиндийские храмы, украшенная статуями богов, по форме напоминает ступенчатую пирамиду. Ее ярусы символизируют различные уровни Вселенной. В христианстве ступенчатая пирамида служит основанием Небесному Иерусалиму.

В начале ХХ в. американские исследователи обнаружили в Китае в провинции Шаньси около сотни огромных земляных пирамид, своими размерами превышающих египетские. Однако до сих пор досконально изучить эти объекты «Долины пирамид» не представляется возможным. Считается, что эти сооружения — усыпальницы императоров династии Хань. В форме пирамиды была выстроена и усыпальница императора Цинь-Шихуанди, вскрыть которую также не позволяет китайское правительство.

Несмотря на то, что пирамида является достаточно распространенной архитектурной формой, наибольшую известность получили именно египетские пирамиды. Первоначально их строили ступенчатыми из кирпича, но, с развитием техники, стали возводить из известняковых блоков и облицовывать полированными каменными плитами, ярко блестевшими в солнечном свете. Пирамидоны, четырехгранные окончания египетских обелисков, специально оковывали золотом, чтобы они ослепительно сверкали на солнце.

Начиная с эпохи Нового времени пирамида в Европе постепенно превратилась в символ смерти. В форме пирамиды часто возводили надгробные памятники. Однако одновременно она являлась и символом возрождения. В России на Пасху готовили одноименное творожное блюдо в форме пирамиды.

Индейские пирамиды

Как и большинство цивилизаций древности, в Мезоамерике индейцы возводили величественные пирамиды. Однако их назначение отличалось от подобных строений в Старом Свете.

Если египетские и китайские пирамиды — это прежде всего усыпальницы правителей и вельмож, то в Америке они играли роль храмов и прообразов жилищ богов на земле. Этим они, как и по своей форме, больше были похожи на зиккураты Древней Месопотамии. Именно в Мексике в городе Чалуло находится самая большая в мире пирамида. По своему объему она превосходит все известные строения такого рода. Пирамиды индейцев связаны с обычаем приносить жертвы богам на возвышенностях. Таким образом, как и в других частях мира, они являются рукотворными горами со сходной символикой. Каждая ступень такой пирамиды была символом магического барьера, который защищал божество от воздействия темных сил.

Конусообразный головной убор

Символика конуса достаточно четко прослеживается в форме головных уборов: колпака и клобука (капюшона). В древности шапка-конус была отличительным знаком жрецов, конусообразные митры до Х в. носили папы римские. Но уже в Высоком Средневековье конусообразные колпаки надевали на голову нераскаявшимся еретикам перед сожжением. В Новое время подобный головной убор под названием «дурацкий колпак» стал способом наказания нерадивых учеников в школе. В православной церкви клобук является символом монашеского звания.

Пирамида Лувра

В конце 80-х гг. прошлого века во дворе Лувра по проекту архитектора Ио Минг Пея была возведена стеклянная пирамида, которая стала новым центральным входом в музей. Это сооружение сразу же вызвало множество споров, а совсем недавно приобрело новый символический смысл благодаря нашумевшему роману Д. Брауна «Код да Винчи». По утверждению автора, под этой пирамидой спрятан Святой Грааль. Кроме того, в этом романе утверждается, что количество стеклянных панелей в пирамиде равно 666. Это также не соответствует истине.

Буддийская ступа

Ступа является культовым буддистским сооружением, в котором хранят священные реликвии. С санскрита это слово переводится как «макушка», чем первоначально она и являлась. Затем ступа приобрела каноническую форму нескольких усеченных конусов, поставленных друг на друга на круглом или прямоугольном основании.

Песочные часы

Песочные часы представляют собой два соединенных вершинами конуса, между которыми пересыпается песок. В средневековой Европе они были символом утекающего времени. Интересно, что у племен бамбара в Западной Африке существовал мифологический сюжет, по которому Творец, вращаясь по спирали, прошел из одного конуса в другой и так создал Небо и Землю.

Пирамида и око

Начиная с XVIII в. пирамида как масонский символ получила довольно широкое распространение. Не менее популярным символом стала усеченная пирамида с «глазом провидения» на вершине, треугольник которого заканчивал строение. Этот знак имел множество значений и трактовался как высшая степень просветления. После основания США этот масонский символ был помещен на оборотную сторону Большой государственной печати США. Пирамида на печати состоит из 13 рядов камней, по числу штатов на то время. Она не достроена, поскольку отцы-основатели справедливо надеялись на расширение союза.

Геометрические объекты: пирамида, призма, цилиндр, конус и другие

3.2.3. геометрические объекты:

пирамида, призма, цилиндр, конус и другие

Пирамида это многогранник, одна грань
которого многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной (рисунок 3.54). Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина ее отсекается плоскостью.

Многогранником называется геометрический объект, ограниченный совокупностью плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Построение графического отображения многогранника сводится к построению проекций его вершин и ребер. Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников и выполним их проекции.

Призма – многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы (рисунок 3.55). Название призмы зависит от того, какой многоугольник лежит в ее основании: если треугольник, то призма – треугольная, если четырехугольник, то – четырехугольная и т. д. Если основанием призмы является параллелограмм, то такая призма – параллелепипед. Призма называется прямой, если ее ребра перпендикулярны плоскости основания. Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой, называется кубом.

Призматоид многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой
треугольники и трапеции, вершины которых служат вершинами и многоугольников оснований (рисунок 3.56).

Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой. Существует пять типов правильных многогранников, свойства которых описал более двух тысяч лет назад древнегреческий философ Платон, чем и объясняется их общее название. Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. Это правильная треугольная пирамида.

Гексаэдр правильный шестигранник. Это куб, ограниченный шестью равными квадратами.

Октаэдр – правильный восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними и равными между собой треугольниками, соединенными по четыре у каждой вершины (рисунок 3.57).

Икосаэдр – правильный двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними и равными треугольниками, соединенными по пять у каждой вершины (рисунок 3.58).

Додекаэдр правильный двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными и равными пятиугольниками, соединенными по три у каждой вершины (рисунок 3.59).

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Достраивая пересечения продолжений граней Платоновых тел, можно получать звездчатые многогранники. В качестве примера рассмотрим две наиболее простые звездчатые формы.

Звездчатый октаэдр. Восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра (рисунок 3.60). Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Такой звездчатый многоугольник в 1619 г. описал Кеплер и назвал его stella ostangula – восьмиугольная звезда.

Малый звездчатый додекаэдр звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней правильного выпуклого додекаэдра до их пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении сторон образует правильный звездчатый пятиугольник (рисунок 3.61). Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра.

Цилиндр геометрический объект, ограниченный цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, называемыми основаниями. В зависимости от угла наклона образующих цилиндрической поверхности к основанию различают прямой цилиндр (угол наклона 90°) и наклонный (рисунок 3.62).

Конус – геометрический объект, ограниченный конической поверхностью и плоскостью, называемой основанием или двумя плоскостями (усеченный конус). Конус может быть прямым (рисунок 3.63) или наклонным.

Шар – геометрический объект, образованный вращением круга вокруг его диаметра (рисунок 3.64). При сжатии или растяжении шар преобразуется в эллипсоид, который может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение происходит вокруг большой оси, то эллипсоид называется вытянутым; если вокруг малой – сжатым, или сфероидом (рисунок 3.65).

Тор геометрический объект, образованный при вращении круга вокруг оси, не проходящей через его центр (рисунок 3.66).


источники:

http://sitekid.ru/kultura_i_iskusstvo/znaki_i_simvoly/piramida_i_konus.html

http://pandia.ru/text/78/322/23728.php