Пирамида из прямоугольных треугольников

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Геометрические фигуры. Прямоугольная пирамида.

Прямоугольная пирамида — это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию.

В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

  • около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы;
  • кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

  • около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
  • высоты боковых граней имеют равную длину;
  • площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу;

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

5. Конус будет вписанным в пирамиду, когда вершины их совпадут, а основание конуса будет вписанным в основание пирамиды. При этом вписать конус в пирамиду можно лишь в том случае, если апофемы пирамиды имеют равные величины (необходимое и достаточное условие);

6. Конус будет описанным около пирамиды, если их вершины совпадут, а основание конуса будет описано около основания пирамиды. При этом описать конус около пирамиды можно лишь в том случае, если все боковые ребра пирамиды имеют одинаковые величины (необходимое и достаточное условие). Высоты у этих конусов и пирамид одинаковы.

7. Цилиндр будет вписанным в пирамиду, если 1-но его основание совпадет с окружностью, которая вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а второе основание будет принадлежать основанию пирамиды.

8. Цилиндр будет описанным около пирамиды, когда вершина пирамиды будет принадлежать его одному основанию, а второе основание цилиндра будет описано около основания пирамиды. При этом описать цилиндр около пирамиды можно лишь в том случае, если основанием пирамиды служит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы для определения объема и площади прямоугольной пирамиды.

V — объем пирамиды,

S — площадь основания пирамиды,

h — высота пирамиды,

Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,

a — апофема (не путать с α) пирамиды,

P — периметр основания пирамиды,

n — число сторон основания пирамиды,

b — длина бокового ребра пирамиды,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. Тетраэдр

Факт 1. Про произвольную пирамиду \(PA_1A_2. A_n\)
\(\bullet\) Многоугольник \(A_1. A_n\) – основание;
треугольники \(PA_1A_2, PA_2A_3\) и т.д. – боковые грани;
точка \(P\) – вершина;
отрезки \(PA_1, PA_2, . A_1A_2\) и т.д. – ребра.
\(\bullet\) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется \(<\color<<\small<тетраэдром>>>>\) .
\(\bullet\) \(<\color<<\small<Правильный \ тетраэдр>>>>\) — это треугольная пирамида, все грани которой – равносторонние треугольники.
\(\bullet\) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины \(P\) к основанию.
\(\bullet\) \(<\color<<\small<Объем \ пирамиды>>>>\) \[<\color<<\large<3>S_<\text<осн>>h>>>>\] где \(S_<\text<осн>>\) – площадь основания, \(h\) – высота пирамиды.
\(\bullet\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

\(\bullet\) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Факт 2. Про прямоугольную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ( \(SR\) ) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
\(\bullet\) Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ( \(\triangle SMR, \triangle SPR\) ).

Факт 3. Про правильную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

\(\sim\) боковые ребра равны;
\(\sim\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\(\sim\) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
\(\bullet\) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

\(\bullet\) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.


источники:

http://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Pryamougolnaya-Piramida.html

http://shkolkovo.net/theory/157