Пирамида геометрическая фигура треугольник

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.


Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение пирамиды

Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.

Примечание: пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды

Для рисунка выше:

  • Основание (четырехугольник ABCD) – грань фигуры, являющая многогранником. Ей не принадлежит вершина.
  • Вершина пирамиды (точкаE) – общая точка всех боковых граней.

Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.

Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.

Виды сечения пирамиды

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

На данном рисунке:

Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.

Пирамида — свойства, признаки и формулы

Пирамида — объёмная фигура, обладающая характеристиками, которые позволяют легко рассчитать основные параметры: площадь поверхности граней и занимаемый ей объём пространства.

Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.

Определение пирамиды в геометрии

Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.

Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.

Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.

Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.

На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.

Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.

У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Виды пирамид

Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.

Можно указать следующие разновидности пирамид:

Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.

У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.

Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.

Свойства пирамиды

У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:

круг возможно описать вокруг многоугольника основания;

угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.

В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства.

У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.

Каждая из них является равнобедренным треугольником.

Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.

Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.

Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.

Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.

Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета

Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.

где используются такие обозначения:

S – площадь основания;

h – высота фигуры.

Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.

Пример решения задачи

Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры.

Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата.

Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.

По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.

Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.

V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.

Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см.

Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.


источники:

http://microexcel.ru/piramida/

http://nauka.club/matematika/geometriya/piramida.html