Пифагоровы тройки таблица прямоугольный треугольник

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d9ddebb2bd3f42b • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Методический материал по математике «Пифагоровы тройки»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Пифагоровы тройки

Оглавление

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического применения в современной жизни.

Цель : заключается в изучении пифагоровых троек и их применения для решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема : Пифагоровы тройки изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна .

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.

Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор Самосский — древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

Один из катетов должен быть кратным трём,

Один из катетов должен быть кратным четырём,

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

Примитивными (все три числа-взаимно простые),

Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Итак, пифагоровы тройки — это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа, которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30.

По формуле Пифагора — сложим квадрат первых двух чисел:

Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад.

Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если a = 3, то; b =4;

; c =5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b =12;

; c =13; вторая тройка (5, 12, 13).

Если a = 7, то; b =24;

; c =25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек.

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Для этого возьмем числа: .

Вычислим первую формулу тройки:

Вычислим вторую формулу тройки:

Вычислим третью формулу тройки:

Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель — k . Тогда из уравнения получаем [2.91-95]

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении задач с теоремой Пифагора.

лежит напротив прямого угла;

является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

обозначается как «с» в теореме Пифагора;

Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.

Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.

Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с.

Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, t g ).

Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Дан прямоугольный треугольник ABC , C =90 ∘ , AC=3 , BC=4 . Найдите длину AB .

Согласно теореме Пифагора:

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8?

Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ — диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС — прямоугольный.

2) По теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу ВА, , , .

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

По теореме Пифагора:

Ответ : АВ =15, sin A= , cos A= ,tg A= .

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD =1,5; AC =2,5.

Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB = CD и BC = AD .

Далее, рассмотрим треугольник ADC , угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы?

Можно решать сразу через т. Пифагора, т.к. дом и земля перпендикулярны друг другу, и поэтому они образуют прямой угол. Пусть 5м — «у», 12м — « z », а за «х» возьмем длину лестницы.

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2. Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни.

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые украшают зарубежные города:

Административное здание Kuggen , Гётеборг, Швеция.

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях готического и романского стиля.

Романский стиль: Готический стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, для внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. и, следовательно, радиус равен.А тогда становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны и . Радиус – p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой. По теореме Пифагора имеем:

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

Использование пифагоровых троек при решении геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

Государственное казенное общеобразовательное учреждение Калужской области «Областной центр образования»

Использование пифагоровых троек при решении

геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

Автор: , учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ, педагогический стаж 30 лет

II. Основная часть. Использование пифагоровых троек при решении геометрических задач и тригонометрических заданий.

2.1. Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

2.2 . Классификация пифагоровых троек по Шустрову.

2.3. Задачи по планиметрии

2.4. Пифагоровы тройки в тригонометрии

I. Введение

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: a2+b2=c2 . Однако не Пифагор открыл теорему, носящую его имя. Она была известна еще раньше, но, возможно, только как факт, выведенный из измерений. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство.

Существует бесчисленное множество натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a2+b2=c2.. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника – будем называть их пифагоровыми треугольниками.

Цель работы: изучить возможность и эффективность применения пифагоровых троек для решения задач школьного курса математики, заданий ЕГЭ.

Исходя из цели работы, поставлены следующие задачи:

Изучить историю и классификацию пифагоровых троек. Проанализировать задачи с применением пифагоровых троек, имеющиеся в школьных учебниках и встречающиеся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. Оценить эффективность применения пифагоровых троек и их свойств для решения задач.

Объект исследования: пифагоровы тройки чисел.

Предмет исследования: задачи школьного курса тригонометрии и геометрии, в которых используются пифагоровы тройки.

Актуальность исследования. Пифагоровы тройки часто используются в геометрии и тригонометрии, знание их избавит от ошибок в вычислениях и экономит время.

II. Основная часть. Решение задач с помощью пифагоровых троек.

2.1.Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

Пифагоровы числа имеют вид a = m·n, , , где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из «катетов» должен быть кратным трем.

Один из «катетов» должен быть кратным четырем.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

В книге «Занимательная алгебра» приводится таблица пифагоровых троек, содержащих числа до ста, не имеющих общих множителей. [1]


источники:

http://infourok.ru/metodicheskij-material-po-matematike-pifagorovy-trojki-4321466.html

http://pandia.ru/text/80/406/53.php