Пифагоровы треугольники определение и примеры

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dcb70d1ab7116c7 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2.Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМатвей Панютин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2.Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники.» — Транскрипт:

2 Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2. Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники. Определение. 3. Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость.Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость. 4. Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица.Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица. 5. Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух.Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух. 6. Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.

3 Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами Определение: Египетский треугольник

4 Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. в а с

5 Теорема :1 В Пифагоровом треугольнике длины катетов x и y являются взаимно простыми числами тогда и только тогда, когда не существует ему подобного Пифагорова треугольника с меньшими катетами. Доказательство: 1. Необходимость. Пусть х и у взаимно простые числа. Докажем, что не существует подобного ему Пифагорова треугольника с меньшими катетами. Предположим, что треугольник (а, b, с) подобен треугольнику (x, y, z) и что а

1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» title=»Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» > 6 Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x y 2 1 ) Из полученного равенства следует, что z 2 имеет d 2, своим делителем, а следовательно,d является делителем z, z = dz 1, где z 1 — натуральное число. x = dx 1, y = dy 1,, z = dz 1. При сокращении на d 2 получаем: x y 2 1 = z 2 1 Из этого равенства следует, что треугольник (x 1,y 1,z 1 ) -треугольник Пифагора со сторонами меньшими соответственных сторон треугольника (x, y, z) и ему подобный. Итак: а) числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников — числа взаимно простые; б) из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в целое число раз. Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным. 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x»> 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x 2 1 + y 2 1 ) Из полученного равенства следует, что z 2 имеет d 2, своим делителем, а следовательно,d является делителем z, z = dz 1, где z 1 — натуральное число. x = dx 1, y = dy 1,, z = dz 1. При сокращении на d 2 получаем: x 2 1 + y 2 1 = z 2 1 Из этого равенства следует, что треугольник (x 1,y 1,z 1 ) -треугольник Пифагора со сторонами меньшими соответственных сторон треугольника (x, y, z) и ему подобный. Итак: а) числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников — числа взаимно простые; б) из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в целое число раз. Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.»> 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» title=»Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x»>

7 Теорема 2 В основном пифагоровом треугольнике длины катетов имеют разную чётность. Доказательство: а) Так как длины катетов взаимно просты, то они не могут быть оба чётными. б) Пусть они оба нечётные, а = 2 к+1; в = 2n+1 а 2 + в 2 = (2 к+1) 2 + (2n+1) 2 = 4 к 2 +4 к+1+ 4n 2 +4n+1 = 4(k 2 + n 2 + k + n) + 2, (k 2 + n 2 + k + n ) делится на 2; значит а 2 + в 2 = 8t + 2, с 2 = 8t + 2, делится на 2, а на 4 не делится. Значит оба катета нечетными быть не могут. Из а) и б) следует, что длины катетов имеют разную чётность. Определение Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.

8 Лемма 1 Квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2. Доказательство: Пусть а = 3n, тогда а 2 = 9n 2. Пусть а = 3n+1, тогда а 2 = 9n 2 + 6n + 1. Пусть а = 3n+2, тогда а 2 = 9n 2 +12n+ 4. Теорема 3 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 3. Доказательство: Предположим, что ни одно из чисел x, y не делится на 3, т.е. x = 3k ± 1 ; y = 3l ± 1, где k и l — целые числа. z 2 = x 2 +y 2 = 3(3k 2 + 3l 2 ± 2k ± 2l) + 2, что противоречит лемме 1. Оба катета на 3 делиться не могут, т. к. они взаимно просты.

9 Теорема 4 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 4. Доказательство: Пусть y = 2n,тогда x = 2k+1; z = 2m+1 4n 2 = 4(k+m+1)(k-m) ; n 2 = (k+m+1)(m-k) Значит n 2 делится на 2, значит n делится на 2, а 2n делится на 4. Таким образом y делится на 4. х и z на 4 не делятся, т. к. они нечетные, получили то, ч.т.д.

10 Лемма 2 Квадрат целого числа, не кратного пяти, при делении на 5 дает остаток 1 или 4. Доказательство. Пусть a=5k+1, a 2 =25k 2 +10k+1 (ост 1) a=5k+2; a 2 =25k 2 +20k+4 (ост 4) а=5k+3; a 2 =25k 2 +30k+ 9 (ост 4) a=5k+4; a 2 =25k 2 +40k+16 (ост 1) Теорема 5 В основном пифагоровом треугольнике ровно одна сторона делится на 5. Доказательство. Пусть в треугольнике (x, y, z) ни одна сторона не делится на 5 z 2 =x 2 +y 2 Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 1, то z 2 остаток 2, что невозможно. Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 4, то z 2 остаток 3, что невозможно. Если x 2 и y 2 дает разные остатки при делении на 5, то z 2 делится на 5 и z делится на 5, что противоречит предположению. Две стороны делиться на 5 не могут, т.к. треугольник основной.

11 1. x = m 2 -n 2 y = 2mn z = m 2 +n 2 где m и n натуральные числа 2. Правило Пифагора x = 2n+1 y = 2n(n+1) z = 2n 2 +2n+1 (2n+1) 2 +(2n 2 +2n) 2 =(2n 2 +2n+1) 2 n1 катет 2n+1 2 катет 2n(n+1) Гипотенуза 2n 2 +2n

12 Лемма 3 Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из них тоже является квадратом натурального числа. Доказательство: Пусть n 2 = m n, где m и n взаимно простые числа. Пусть m=p 1 l1 p 2 l2 …p k lk n = q 1 f1 q 2 f2 …q t ft, где p j q g n 2 =mn, следовательно все l i и f j – чётные числа, а значит m и k является квадратами натуральных чисел, ч.т.д

t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » title=»Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » > 13 Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (x, y, z), где y является четным числом, определяется этим способом однозначно. Доказательство: Пусть y — чётное число, тогда x и z оба нечетные, y 2 = (z — x)(z + x), z = k + m x = k – m Докажем, что k и m взаимно просты. Пусть k делится на d и m делится на d, тогда z делится на d и x делится на d, значит y делится на d,значит треугольник (x, y, z) не основной. y = 2n, 4n 2 = 2k × 2m, n 2 = km, значит по лемме 2 k = l 2, m = t 2, где l и t натуральные числа. n = lt, значит y = 2lt, x = l 2 — t 2, z = l 2 + t 2. t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а «> t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (x, y, z), где y является четным числом, определяется этим способом однозначно. Доказательство: Пусть y — чётное число, тогда x и z оба нечетные, y 2 = (z — x)(z + x), z = k + m x = k – m Докажем, что k и m взаимно просты. Пусть k делится на d и m делится на d, тогда z делится на d и x делится на d, значит y делится на d,значит треугольник (x, y, z) не основной. y = 2n, 4n 2 = 2k × 2m, n 2 = km, значит по лемме 2 k = l 2, m = t 2, где l и t натуральные числа. n = lt, значит y = 2lt, x = l 2 — t 2, z = l 2 + t 2.»> t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » title=»Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а «>

14 Таблица двадцати одного основного пифагорова треугольника, составленная по формулам l t t X Y Z Площадь

b, » title=»Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, » > 15 Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, затем b 1, c 2, c – b 1, а также c + b 3, a 2 3, поэтому а не может быть равным единице. Не может также а быть равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (c — b)(c + b). Это равенство невозможно, действительно, если c – b 1, c + b 3, то c – b = 1 c + b = 4, следовательно 2 с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорова треугольника больше двух. Достаточность Если n – нечетное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 – 1)/2) 2 = ((n 2 + 1)/2) 2 Если n — четное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 /4 – 1)) 2 = ((n 2 /4 + 1)) 2 b, «> b, затем b 1, c 2, c – b 1, а также c + b 3, a 2 3, поэтому а не может быть равным единице. Не может также а быть равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (c — b)(c + b). Это равенство невозможно, действительно, если c – b 1, c + b 3, то c – b = 1 c + b = 4, следовательно 2 с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорова треугольника больше двух. Достаточность Если n – нечетное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 – 1)/2) 2 = ((n 2 + 1)/2) 2 Если n — четное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 /4 – 1)) 2 = ((n 2 /4 + 1)) 2″> b, » title=»Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, «>

16 Теорема 7 Существует бесконечно много основных пифагоровых треугольников, у которых один из катетов является квадратом натурального числа. Пусть (p, n, m) — основной пифагоров треугольник, где n четно, а p и m нечетны, причем m и n взаимно просты. Составим новый основной пифагоров треугольник (x, y, z), где х = m 2 — n 2 = p 2 ; z = m 2 + n 2 ; тогда z 2 – x 2 = 4m 2 n 2, то есть y = 2mn. Следовательно, x (нечетный катет треугольника (x, y, z)) — квадрат натурального числа. Таким образом, из основного треугольника (3, 4, 5) получаем основной треугольник (9, 40, 41), где 9 = 3 2, а из основного треугольника (5, 12, 13), получаем основной треугольник (25, 312, 313), где 25 = 5 2.

17 Теорема 8 Существует бесконечно много пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза – полный квадрат. Пусть (m, n, p), где n

18 Теорема Ферма: Нет Пифагоровых треугольников, у которых хотя бы 2 стороны были квадратами.

19 В. Серпинский « Пифагоровы Треугольники » Москва 1959 г. Работу выполнила Калюжная Маргарита 9 класс МАОУ ДОД « ЦДОД « Компьютерный центр » Руководитель Рысева Л. Н.

Методический материал по математике «Пифагоровы тройки»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Пифагоровы тройки

Оглавление

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического применения в современной жизни.

Цель : заключается в изучении пифагоровых троек и их применения для решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема : Пифагоровы тройки изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна .

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.

Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор Самосский — древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

Один из катетов должен быть кратным трём,

Один из катетов должен быть кратным четырём,

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

Примитивными (все три числа-взаимно простые),

Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Итак, пифагоровы тройки — это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа, которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30.

По формуле Пифагора — сложим квадрат первых двух чисел:

Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад.

Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если a = 3, то; b =4;

; c =5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b =12;

; c =13; вторая тройка (5, 12, 13).

Если a = 7, то; b =24;

; c =25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек.

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Для этого возьмем числа: .

Вычислим первую формулу тройки:

Вычислим вторую формулу тройки:

Вычислим третью формулу тройки:

Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель — k . Тогда из уравнения получаем [2.91-95]

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении задач с теоремой Пифагора.

лежит напротив прямого угла;

является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

обозначается как «с» в теореме Пифагора;

Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.

Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.

Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с.

Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, t g ).

Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Дан прямоугольный треугольник ABC , C =90 ∘ , AC=3 , BC=4 . Найдите длину AB .

Согласно теореме Пифагора:

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8?

Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ — диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС — прямоугольный.

2) По теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу ВА, , , .

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

По теореме Пифагора:

Ответ : АВ =15, sin A= , cos A= ,tg A= .

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD =1,5; AC =2,5.

Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB = CD и BC = AD .

Далее, рассмотрим треугольник ADC , угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы?

Можно решать сразу через т. Пифагора, т.к. дом и земля перпендикулярны друг другу, и поэтому они образуют прямой угол. Пусть 5м — «у», 12м — « z », а за «х» возьмем длину лестницы.

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2. Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни.

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые украшают зарубежные города:

Административное здание Kuggen , Гётеборг, Швеция.

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях готического и романского стиля.

Романский стиль: Готический стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, для внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. и, следовательно, радиус равен.А тогда становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны и . Радиус – p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой. По теореме Пифагора имеем:

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:


источники:

http://www.myshared.ru/slide/1272841/

http://infourok.ru/metodicheskij-material-po-matematike-pifagorovy-trojki-4321466.html