Пифагоровы треугольники это определение

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dd07fa9182c3a56 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2.Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМатвей Панютин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2.Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники.» — Транскрипт:

2 Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2. Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники. Определение. 3. Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость.Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость. 4. Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица.Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица. 5. Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух.Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух. 6. Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.

3 Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами Определение: Египетский треугольник

4 Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. в а с

5 Теорема :1 В Пифагоровом треугольнике длины катетов x и y являются взаимно простыми числами тогда и только тогда, когда не существует ему подобного Пифагорова треугольника с меньшими катетами. Доказательство: 1. Необходимость. Пусть х и у взаимно простые числа. Докажем, что не существует подобного ему Пифагорова треугольника с меньшими катетами. Предположим, что треугольник (а, b, с) подобен треугольнику (x, y, z) и что а

1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» title=»Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» > 6 Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x y 2 1 ) Из полученного равенства следует, что z 2 имеет d 2, своим делителем, а следовательно,d является делителем z, z = dz 1, где z 1 — натуральное число. x = dx 1, y = dy 1,, z = dz 1. При сокращении на d 2 получаем: x y 2 1 = z 2 1 Из этого равенства следует, что треугольник (x 1,y 1,z 1 ) -треугольник Пифагора со сторонами меньшими соответственных сторон треугольника (x, y, z) и ему подобный. Итак: а) числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников — числа взаимно простые; б) из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в целое число раз. Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным. 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x»> 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x 2 1 + y 2 1 ) Из полученного равенства следует, что z 2 имеет d 2, своим делителем, а следовательно,d является делителем z, z = dz 1, где z 1 — натуральное число. x = dx 1, y = dy 1,, z = dz 1. При сокращении на d 2 получаем: x 2 1 + y 2 1 = z 2 1 Из этого равенства следует, что треугольник (x 1,y 1,z 1 ) -треугольник Пифагора со сторонами меньшими соответственных сторон треугольника (x, y, z) и ему подобный. Итак: а) числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников — числа взаимно простые; б) из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в целое число раз. Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.»> 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x» title=»Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x»>

7 Теорема 2 В основном пифагоровом треугольнике длины катетов имеют разную чётность. Доказательство: а) Так как длины катетов взаимно просты, то они не могут быть оба чётными. б) Пусть они оба нечётные, а = 2 к+1; в = 2n+1 а 2 + в 2 = (2 к+1) 2 + (2n+1) 2 = 4 к 2 +4 к+1+ 4n 2 +4n+1 = 4(k 2 + n 2 + k + n) + 2, (k 2 + n 2 + k + n ) делится на 2; значит а 2 + в 2 = 8t + 2, с 2 = 8t + 2, делится на 2, а на 4 не делится. Значит оба катета нечетными быть не могут. Из а) и б) следует, что длины катетов имеют разную чётность. Определение Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.

8 Лемма 1 Квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2. Доказательство: Пусть а = 3n, тогда а 2 = 9n 2. Пусть а = 3n+1, тогда а 2 = 9n 2 + 6n + 1. Пусть а = 3n+2, тогда а 2 = 9n 2 +12n+ 4. Теорема 3 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 3. Доказательство: Предположим, что ни одно из чисел x, y не делится на 3, т.е. x = 3k ± 1 ; y = 3l ± 1, где k и l — целые числа. z 2 = x 2 +y 2 = 3(3k 2 + 3l 2 ± 2k ± 2l) + 2, что противоречит лемме 1. Оба катета на 3 делиться не могут, т. к. они взаимно просты.

9 Теорема 4 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 4. Доказательство: Пусть y = 2n,тогда x = 2k+1; z = 2m+1 4n 2 = 4(k+m+1)(k-m) ; n 2 = (k+m+1)(m-k) Значит n 2 делится на 2, значит n делится на 2, а 2n делится на 4. Таким образом y делится на 4. х и z на 4 не делятся, т. к. они нечетные, получили то, ч.т.д.

10 Лемма 2 Квадрат целого числа, не кратного пяти, при делении на 5 дает остаток 1 или 4. Доказательство. Пусть a=5k+1, a 2 =25k 2 +10k+1 (ост 1) a=5k+2; a 2 =25k 2 +20k+4 (ост 4) а=5k+3; a 2 =25k 2 +30k+ 9 (ост 4) a=5k+4; a 2 =25k 2 +40k+16 (ост 1) Теорема 5 В основном пифагоровом треугольнике ровно одна сторона делится на 5. Доказательство. Пусть в треугольнике (x, y, z) ни одна сторона не делится на 5 z 2 =x 2 +y 2 Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 1, то z 2 остаток 2, что невозможно. Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 4, то z 2 остаток 3, что невозможно. Если x 2 и y 2 дает разные остатки при делении на 5, то z 2 делится на 5 и z делится на 5, что противоречит предположению. Две стороны делиться на 5 не могут, т.к. треугольник основной.

11 1. x = m 2 -n 2 y = 2mn z = m 2 +n 2 где m и n натуральные числа 2. Правило Пифагора x = 2n+1 y = 2n(n+1) z = 2n 2 +2n+1 (2n+1) 2 +(2n 2 +2n) 2 =(2n 2 +2n+1) 2 n1 катет 2n+1 2 катет 2n(n+1) Гипотенуза 2n 2 +2n

12 Лемма 3 Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из них тоже является квадратом натурального числа. Доказательство: Пусть n 2 = m n, где m и n взаимно простые числа. Пусть m=p 1 l1 p 2 l2 …p k lk n = q 1 f1 q 2 f2 …q t ft, где p j q g n 2 =mn, следовательно все l i и f j – чётные числа, а значит m и k является квадратами натуральных чисел, ч.т.д

t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » title=»Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » > 13 Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (x, y, z), где y является четным числом, определяется этим способом однозначно. Доказательство: Пусть y — чётное число, тогда x и z оба нечетные, y 2 = (z — x)(z + x), z = k + m x = k – m Докажем, что k и m взаимно просты. Пусть k делится на d и m делится на d, тогда z делится на d и x делится на d, значит y делится на d,значит треугольник (x, y, z) не основной. y = 2n, 4n 2 = 2k × 2m, n 2 = km, значит по лемме 2 k = l 2, m = t 2, где l и t натуральные числа. n = lt, значит y = 2lt, x = l 2 — t 2, z = l 2 + t 2. t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а «> t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (x, y, z), где y является четным числом, определяется этим способом однозначно. Доказательство: Пусть y — чётное число, тогда x и z оба нечетные, y 2 = (z — x)(z + x), z = k + m x = k – m Докажем, что k и m взаимно просты. Пусть k делится на d и m делится на d, тогда z делится на d и x делится на d, значит y делится на d,значит треугольник (x, y, z) не основной. y = 2n, 4n 2 = 2k × 2m, n 2 = km, значит по лемме 2 k = l 2, m = t 2, где l и t натуральные числа. n = lt, значит y = 2lt, x = l 2 — t 2, z = l 2 + t 2.»> t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а » title=»Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 — t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а «>

14 Таблица двадцати одного основного пифагорова треугольника, составленная по формулам l t t X Y Z Площадь

b, » title=»Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, » > 15 Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, затем b 1, c 2, c – b 1, а также c + b 3, a 2 3, поэтому а не может быть равным единице. Не может также а быть равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (c — b)(c + b). Это равенство невозможно, действительно, если c – b 1, c + b 3, то c – b = 1 c + b = 4, следовательно 2 с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорова треугольника больше двух. Достаточность Если n – нечетное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 – 1)/2) 2 = ((n 2 + 1)/2) 2 Если n — четное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 /4 – 1)) 2 = ((n 2 /4 + 1)) 2 b, «> b, затем b 1, c 2, c – b 1, а также c + b 3, a 2 3, поэтому а не может быть равным единице. Не может также а быть равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (c — b)(c + b). Это равенство невозможно, действительно, если c – b 1, c + b 3, то c – b = 1 c + b = 4, следовательно 2 с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорова треугольника больше двух. Достаточность Если n – нечетное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 – 1)/2) 2 = ((n 2 + 1)/2) 2 Если n — четное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 /4 – 1)) 2 = ((n 2 /4 + 1)) 2″> b, » title=»Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 — b 2 = (c — b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, «>

16 Теорема 7 Существует бесконечно много основных пифагоровых треугольников, у которых один из катетов является квадратом натурального числа. Пусть (p, n, m) — основной пифагоров треугольник, где n четно, а p и m нечетны, причем m и n взаимно просты. Составим новый основной пифагоров треугольник (x, y, z), где х = m 2 — n 2 = p 2 ; z = m 2 + n 2 ; тогда z 2 – x 2 = 4m 2 n 2, то есть y = 2mn. Следовательно, x (нечетный катет треугольника (x, y, z)) — квадрат натурального числа. Таким образом, из основного треугольника (3, 4, 5) получаем основной треугольник (9, 40, 41), где 9 = 3 2, а из основного треугольника (5, 12, 13), получаем основной треугольник (25, 312, 313), где 25 = 5 2.

17 Теорема 8 Существует бесконечно много пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза – полный квадрат. Пусть (m, n, p), где n

18 Теорема Ферма: Нет Пифагоровых треугольников, у которых хотя бы 2 стороны были квадратами.

19 В. Серпинский « Пифагоровы Треугольники » Москва 1959 г. Работу выполнила Калюжная Маргарита 9 класс МАОУ ДОД « ЦДОД « Компьютерный центр » Руководитель Рысева Л. Н.

Геометрия

План урока:

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х 2 . Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с 2 – это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х 2 – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

обращают его в справедливое равенство.

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а 2 , b 2 и с 2 – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а 2 + b 2 четное. Таким образом, получается, что равенство

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

Так как ∆А1В1С1 прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

По рисунку можно записать три уравнения:

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

С учетом этого выразим h 2 :

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.


источники:

http://www.myshared.ru/slide/1272841/

http://100urokov.ru/predmety/urok-5-teorema-pifagora