Пифагоровы треугольники это какие

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6db564a00cb5168f • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Пифагоровы треугольники

Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники«, стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски их представляют одну из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как широко использовался в египетской культуре.

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при умножении x, y и z на одно и то же натуральное число получатся другие пифагоровы треугольники. Пифагорова тройка (x, y, z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x, y и z являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель (x, y, z) равен числу один. Чем больше примитивные пифагоровы тройки, тем больше пифагоровы треугольники с их длинами приближаются к равнобедренному треугольнику. Отсюда следует, что бесконечно большая примитивная пифагорова тройка является сторонами бесконечно большого равнобедренного треугольника.

Для «египетского» треугольника теорема Пифагора принимает следующий числовой вид: 4² + 3² = 5². После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все «пифагоровы треугольники» – тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Какие-то общие методы поиска таких троек чисел, например упомянутых выше (3, 4, 5) или (5, 12, 13), были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит «пифагоровы треугольники», состоящие с 15 троек. Среди них есть состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора.

—>Коллеги — педагогический журнал Казахстана —>

Усманова Рашида Салихжановна

Одной из важнейшей теоремой геометрии называют теорему Пифагора. Хотя эту теорему и связывают с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, другим свидетельством – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Многие известные мыслители и искатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
Прямоугольный треугольник, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древними египтянами.
Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более египетских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке, где надо было построить прямой угол, забивали колышек и натягивали веревку так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. И действительно, 32+42=52. Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения: х2+у2=z2
Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений.
Если числа х, у и z пропорциональны числам 3, 4 и 5, то эти числа тоже будут корнями уравнения х2+у2=z2.
То есть (nx)2+(ny)2=(nz)2, тогда при n=2; 2х=6, 2у=8, 2z=10, 62+82=102
6, 8, 10 – вторая пифагорова тройка.
При n=3; 3х=9, 3у=12, 3z=15, 92+122=152
9, 12, 15 – третья пифагорова тройка и т.д.
Нетрудно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор.
Один из путей решения уравнения х2+у2=z2 в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 …
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 …

А теперь обратим внимание! В нижней строке есть числа. Первое из них 9=32, над ним 16=42 и 25=52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.
Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если вы продолжите строку квадратных чисел и подсчитаете соответствующие разности, то во второй строке найдете 49=72, этому числу отвечают в строке квадратов 576=242 и 625=252. И действительно, 72+242=252. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, вы, наверное, уже обратили внимание на то, что мы имеем право сформулировать такую теорему:
КАЖДОЕ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ.
Составлять такие строки – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы -правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Если х – нечетное число, то и . B этом случае равенство х2+у2=z2 выполняется, т.е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:
Если х=3, то =4, получилась первая пифагорова тройка;
Если х=5, то , — вторая тройка;
Если х=7, то y= , — третья тройка.
Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда у=40 и z=41.
Проверим наши вычисления:
92+402=412.
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы.
Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
x2=z2-y2;
x2=(z+y)(z-y)
Это означает, что число х должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получиться такая система:

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получения аккуратных ответов. Решив эту систему, получим:
z=a2+b2; y=a2-b2; x=2ab; (при этом надо иметь в виду, что a>b).
Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник».
Рассмотренные различные способы позволяют вычислению всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. Эти числа и будут пифагоровыми тройками, а треугольники с этими сторонами — пифагоровыми треугольниками.


источники:

http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/article-22.html

http://collegy.ucoz.ru/publ/39-1-0-1511