Пифагоровы треугольники 20 10

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d94ba56add57b33 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

  • a = √c 2 − b 2
  • b = √c 2 − a 2
  • c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

  • если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
  • если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
  • если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

  • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
  • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
  • Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
  • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
  • Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

  • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
  • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
  • Проведём отрезок A₁B₁.
  • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
  • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
  • Таким образом получится:
  • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
  2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
  • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
  • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

  • Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

6. Задачи с пифагоровыми тройками

Ниже приведены несколько задач, которые основаны на построении фигур из треугольников из спичек. Спичка здесь — эталон длины и, таким образом, прямые, выложенные ими, имеют целочисленную длину.

Задача 1. Построить из спичек прямоугольный треугольник (a,b,c) с катетом из c = 10 спичек.
Решение. В соответствии с (2), заданный катет — четное число, то есть a = 2mn, где m и n, m > n — взаимно простые. Возможна единственная комбинация m и n — это 5 и 1, так как 2·5·1 = 10. Остальные стороны равняются b = m 2 − n 2 = 24, c = m 2 + n 2 = 26. Таким образом, ответ — это треугольник с тройкой (10,24,26).

Задача 2. Построить из спичек разносторонний треугольник с высотой 12.
Решение. Этот треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с одним общим катетом. Среди примитивных пифагоровых треугольников двух таких треугольников нет, так как один из катетов — четной длины, а второй — нечетной и в ряду примитивных пифагоровых треугольников нет таких с одинаковыми одноименными катетами. Но можно выбрать два примитивных треугольника, или тот же самый треугольник и умножить тройки так, чтобы получить наименьшее общее кратное двух катетов, которое равняется 12. Например, взять тройки (3,4,5) и (4,3,5), первую умножить на 4, а вторую — на 3, получим (12,16,20) и (12,9,15). Ответ — треугольник со сторонами 20, 15 и 16 + 9 = 25 с высотой 12 спичек.

Другой вариант решения — тройки (12,5,17) и (4·3, 3·3, 5·3), которые дают треугольник со сторонами 17, 15 и 5 + 9 = 14 с высотой 12 спичек.

Оба решения показаны на рис. 7.

Рисунок 7. Треугольники с целочисленными сторонами и высотой

Задача 3. Построить из 60 спичек прямоугольный треугольник с максимальной площадью.
Решение. Площадь прямоугольного треугольника — S = ab/2, а его периметр — P = a + b + c ≤ 60. Прежде всего, можно заметить, что периметр египетскoго треугольника равняется 12 и если его стороны умножить на 5, то получим пифагорову тройку (15,20,25) с периметром 60 и площадью S = 150. Если не найти лучшего треугольника, то это будет решением.

Пусть в треугольнике катеты а = рq и b = p + q. Тогда S = (р 2 − q 2 )/2 — максимальная, если q ≈ 0, то есть, когда ab. Отсюда можно оценить гипотенузу в c ≈ √2 а и периметр (2 + √2 )аР . Поэтому а·b/2 ≈ 153 > S.

Из выражения (5) следует, что для пифагоровых треугольников 4S делится нацело на dP, причем d — четное. Поэтому 2S должно делиться нацело на P. Это значит, что площадь может быть S = 3Р/2 = 150 или S = 2Р = 120. Как видим, тройка (12,16,20) дает максимальную площадь S = 150 и поэтому является решением.

Задача 4. Построить из спичек прямоугольный треугольник с углом 30°.
Решение. Такой треугольник построить нельзя, так как одна из сторон будет иметь длину, вираженную иррациональным числом. Если а = k, с = 2k, то b = √3 k.

Можно сложить треугольник с углом, который приблизительно равняется 30°. Это, например, пифагорова тройка (8,15,17), которая задает этот угол с погрешностью 2°, а тройка (120,209,241) — с погрешностью 0,14°.

Задача 5. Сложить прямоугольный треугольник из спичек вокруг консервной банки, в диаметр которой вкладывается ровно 4 спички.
Решение. Диаметр вписаной окружности в пифагоров треугольник равняется его излишку е, то есть е = 4. Выберем рост треугольника h = 1. Тогда по формулам (3) получим а = h + e = 1 + 4 = 5, b = e + e 2 /(2h) = 4 + 16/2 = 12, c = b + h = 13. Другое решение при h = 2 будет а = 6, b = 8, c = 10. Еще одним ростом может быть h = 4. Тогда а = 8, b = 6, c = 10, то есть это предыдущее решение. Аналогично получим первое решение, если h = 8. Ответ: (5, 12, 13) или (6,8,10).

Задача 6. Раскроить материал для четырехугольного ромбовидного змея, вот такого: , чтобы все его стороны и внутренние планки, которые перекрещиваются под прямым углом, были длиной в целое количество сантиметров.
Решение состоит в решении задачи 2 и в умножении сторон полученных треугольников на целое число.


источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-pifagora-formula

http://ananserr.narod.ru/6.zadachi_ru.html