Пифагоров треугольник 7 24

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников.

Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников.

    Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел ( x , y , z ) , удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

    х 2 +y 2 =z 2 , где x и y — катеты прямоугольного треугольника, а z — гипотенуза.

  • При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя, видимо, открыты задолго до него и вообще не в Греции.
  • Треугольник, длины сторон которого образуют пифагорову тройку, является прямоугольным и называется пифагоровым треугольником.
  • Очевидно, что при умножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x, y, z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если x , y , z являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1.
  • Please wait.

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6dc976770cce164b • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

    Пифагоров треугольник 7 24

    В статье излагается оригинальный подход к построению «пифагоровых треугольников», основанный на числах Фибоначчи и Люка.

    Настоящей статьей автор открывает серию статей в рамках рубрики «Золотое Сечение для «чайников»», на которой будут выставляться популярные статьи о Золотом Сечении, числах Фибоначчи, числах Люка и их многочисленных приложениях. Статьи рассчитаны на широкий круг читателей и не требуют специальной математической подготовки.

    Как известно, «Теорема Пифагора» является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии, которую помнит каждый человек, который когда-либо учился в средней школе и, возможно, сумел «начисто забыть» всю математику. Суть этой теоремы чрезвычайно проста. Теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике катеты a и b связаны с гипотенузой с следующим простым соотношением:

    a 2 + b 2 = c 2 (1)

    Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков относится к разряду наиболее выдающихся математических теорем за всю историю математики. Гениальный астроном Иоганн Кеплер выразил свое восхищение теоремой Пифагора в следующих словах:

    «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

    То есть, из всего необозримого множества геометрических результатов и теорем Кеплер выделил только два результата, которые он причислил к разряду «сокровищ геометрии»: теорему Пифагора и «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в старину называлась знаменитая «задача о золотом сечении»).

    Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников, удовлетворяющих соотношению (1), особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре (Рис. 1).

    Рисунок 1. «Священный» или «египетский» треугольник

    Для «египетского» треугольника на Рис. 1 теорема Пифагора (1) принимает следующий числовой вид:

    4 2 + 3 2 = 5 2 . (2)

    Существует легенда, что именно соотношение (2) использовалось египетскими землемерами и строителями для определения прямого угла на плоскости. Для этого использовалась веревка длиной, например, 12 м, которая специальными петлями или узлами была разделена на три части в 3, 4 и 5 м. Для определения прямого угла египетский землемер натягивал одну из частей веревки, например, длиной 3 м, и фиксировал ее на земле с помощью специальных «колышек», забиваемых в две петли. Затем веревка натягивалась с помощью третьей петли и эта петля фиксировалась с помощью «колышка». Ясно, что угол, образуемый между двумя меньшими сторонами образованного таким образом треугольника, в точности равнялся 90 ° . Считалось, что при закладке пирамид такую ритуальную процедуру по определению прямых углов основания пирамиды на земле выполнял сам фараон.

    В 13 в. знаменитый итальянский математик Леонардо Пизано (более известный по своему прозвищу Фибоначчи) ввел в математику любопытную числовую последовательность, известную в современной науке под названием «числа Фибоначчи». Под числами Фибоначчи понимается числовой ряд

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. (3)

    в котором каждый член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

    Рекуррентная формула, задающая числа Фибоначчи, имеет вид:

    F(n)= F(n-1)+ F(n-2) при n і 3 (4)
    F(1) = F(2) = 1 (5)

    На сайте [1] описан следующий способ нахождения «пифагоровых треугольников» с использованием чисел Фибоначчи (3). Для этого используются 4 любых подряд идущих числа Фибоначчи из последовательности (3):

    F(n), F(n+1), F(n+2), F(n+3) (6)

    Продемонстрируем идею метода на примере следующей четверки чисел Фибоначчи

    1, 2, 3, 5, (7)

    выбранной из ряда (3), начиная из числа Фибоначчи F(2) = 1.

    Рассмотрим следующую процедуру [1], которая приведет нас к бесконечному числу «пифагоровых треугольников»:

    1. Умножить 2 средних или внутренних числа из (7): 2 ґ 3 = 6. Для общего случая (6) мы должны вычислить произведение: F(n+1) ґ F(n+2).

    2. Удвоить результат: 2 ґ 6 = 12. Для общего случая (6) мы должны получить число a = 2 ґ F(n+1) ґ F(n+2). Полученное число а равно первой стороне (катету) искомого «пифагорова треугольника».

    3. Умножим теперь два внешних числа Фибоначчи из (7): 1 ґ 5 = 5. Для общего случая (6) мы должны вычислить произведение: b=F(n) ґ F(n+3). Число b представляет собой вторую сторону (катет) «пифагорова треугольника».

    4. Третья, самая длинная сторона (гипотенуза) находится путем суммирования квадратов внутренних чисел из (7): 2 2 =4 и 3 2 =9, то есть их сумма равна: 4+9=13. Для общего случая (6) мы имеем: c=F 2 (n+1) + F 2 (n+2).

    Нетрудно убедиться, что стороны a, b и с прямоугольного треугольника действительно образуют «пифагоров треугольник», поскольку:

    12 2 + 5 2 = 13 2 .

    Для общего случая (6) стороны «пифагорова треугольника» связаны соотношением:

    [2 ґ F(n+1) ґ F(n+2)] 2 + [F(n) ґ F(n+3)] 2 = [F 2 (n+1) + F 2 (n+2)] 2 . (8)

    Путем непосредственных вычислений легко проверить, что это тождество справедливо для всех начальных «четверок» чисел Фибоначчи типа (6). Действительно, для n=1 «четверка» чисел Фибоначчи имеет вид:

    1, 1, 2, 3. (9)

    В соответствии с приведенным выше алгоритмом мы можем вычислить стороны «пифагорова треугольника» для этого случая:

    а = 2 ґ 1 ґ 2 = 4; b = 1 ґ 3 = 3; c = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5.

    Таким образом, случай (9) порождает «священный» или «египетский» треугольник, для которого теорема Пифагора имеет вид (2).

    Рассмотрим «пифагоров треугольник» для случая n=3. Для этого случая «четверка» чисел Фибоначчи выглядит следующим образом:

    2, 3, 5, 8. (10)

    Тогда в соответствии с приведенным выше алгоритмом стороны «пифагорова треугольника» могут быть найдены следующим образом:

    а = 2 ґ 3 ґ 5 = 30; b = 2 ґ 8 = 16; c = 3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34.

    Теорема Пифагора для этого случая выглядит так:

    30 2 + 16 2 = 34 2 .

    Наконец, для случая n=4 «четверка» чисел Фибоначчи имеет вид:

    3, 5, 8, 13, (11)

    а стороны «пифагорова треугольника» соответственно равны:

    a = 2 ґ 5 ґ 8 = 80; b = 3 ґ 13 = 39; c = 5 2 + 8 2 = 35 + 64 = 89.

    Теорема Пифагора для этого случая выглядит так:

    80 2 + 39 2 = 89 2 .

    В работе [1] приведена таблица фибоначчиевых «пифагоровых треугольников» для начальных значений n.

    Таблица фибоначчиевых «пифагоровых треугольников»


    источники:

    http://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-5/pifagorovy-troyki-tablitsa/

    http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320003.htm