Пифагоров треугольник 12 16

Психоматрица по дате рождения(Квадрат Пифагора)

Квадрат Пифагора — это отдельное направление нумерологии. По сути это учение берет свое начало от египетских жрецов. Именно они одни из первых начали сопоставлять качества характера человека в зависимости от чисел. Пифагор взял за основу эти знания о числах и применил к ним математический аспект, основанный на гармонии квадрата.

Пифагор и его последовали расширили возможности египетской системы, дополнив значения отдельных цифр значениями целевых линий квадрата Пифагора. Таким образом новое учение помогало выявить возможную цель жизни человека.

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

  • a = √c 2 − b 2
  • b = √c 2 − a 2
  • c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

  • если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
  • если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
  • если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

  • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
  • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
  • Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
  • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
  • Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

  • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
  • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
  • Проведём отрезок A₁B₁.
  • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
  • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
  • Таким образом получится:
  • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
  2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
  • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
  • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

  • Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Пифагоров треугольник 12 16

Введение

Аннотация: Данная работа исследовательская. Автор предлагает разбить все множество треугольников Герона на два класса:

  1. Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена четным числом
  2. Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена нечетным числом.

Для каждого класса треугольников сформулированы в виде теорем их свойства, обнаруженные автором работы. Выведены формулы для расчета радиусов вписанных и описанных окружностей таких треугольников. Доказано свойство суммы квадратов медиан, проведенных из вершин острых углов. По результатам исследования и выведенных формул составлен генератор треугольников Герона (в таблицах Excel), с помощью которого можно найти все элементы любого треугольника Герона. Проведено сравнение периметров и площадей прямоугольных героновых треугольников, их необычных свойств. В приложении указаны все расчёты

Цель работы: рассмотреть различные виды прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами и площадями; выявить их свойства, провести классификацию таких треугольников.

Задачи: вывести формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности; сравнить площади и периметры рассматриваемых треугольников.

Объект исследования: прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами

Предмет исследования: свойства героновых прямоугольных треугольников

Проблема: Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Проблема в том, чтобы классифицировать такие треугольники; вывести формулы связи для радиусов вписанной и описанной окружностей, выявить и сформулировать свойства героновых треугольников.

Гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x,y,z) удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 . При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,y,z являются взаимно простыми числами. Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно. Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:

Наоборот, любая такая пара чисел (m,n) задаёт примитивную пифагорову тройку (1, Серпинский В.Н.)

Пифагоровы тройки известны давно. В архитектуре древних месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5 ( 9 +16 =25). Если гипотенуза геронова треугольника является числом четным, то медиана, проведенная к гипотенузе, а, следовательно, и радиус описанной около такого треугольника окружности, также будут целыми числами.

Еще один интересный факт просматривается на приведенном рисунке:

Этот рисунок был приведен в статье на сайте Wolfram Math World [6]. Меня он очень заинтересовал: захотелось выяснить, какие значения будут принимать радиусы вписанных окружностей для других треугольников. Появилась гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.

В ходе работы мной были составлены таблицы, анализируя которые я обнаружил много замечательных свойств прямоугольных треугольников Герона.

Основная часть. В начале исследования закономерности никакой не наблюдалось. Но затем, я заметил, что закономерность есть, если все треугольники Герона разбить на два класса:

  • треугольники, длина меньшего катета которых выражается нечетным числом и
  • треугольники, длина меньшего катета которых выражается четным числом.

Радиус описанной окружности вычислял, учитывая, что он равен половине гипотенузы. А радиус вписанной окружности из соображений, что S = , значит, , где S = (половина произведения катетов), то есть = .

Рассмотрим прямоугольные треугольники с меньшим катетом кратным трем и выберем из них те, для которых другой катет равен 4k и гипотенуза равна 5k:

(3;4;5); (6;8;10); (9;12; 15); (12;16;20)… . Для таких треугольников найдем радиусы вписанной и описанной окружностей. Получаем для (3; 4; 5) r = 1; R= 2,5.

Для (6;8;10) r = 2; R= 5. Для (9;12;15) r = 3; R= 7,5. Для (12;16;20) r = 4; R= 10….

Для 1. (3k;4k;5k) r = n; R= 2,5n, где n и k натуральные числа.

Проведем такие же расчеты для треугольников других видов (Результаты исследования приведены в виде таблиц в приложении ) :

  1. (5k;12k;13k): r = 2k; R = 6,5k
  2. (7k;24k;25k): r = k; R =12,5k
  3. (9k;40k;41k): r = k; R=20,5k
  4. (11k;60k;61k): r = 5k; R=30,5k

На n-ном месте будет треугольник с меньшим катетом (2n+ 1)k.

Таким образом, выведена формула для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей для прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, причем меньший катет равен нечетному числу. Результат исследования можно сформулировать в виде теоремы:

Теорема 1. Если у геронова треугольника меньший катет равен нечетному числу (2n+ 1) , где n = 1,2,3,…, то

  • второй катет и гипотенуза отличаются на единицу, то есть являются последовательными натуральными числами;
  • радиус вписанной окружности равен r = n;
  • радиус описанной окружности равен R = n(n + 1) +
  • квадрат меньшего катета равен сумме гипотенузы и другого катета

Как можно использовать эту формулу?

Если известен один катет, то можно вычислить n , а зная n можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника: R вычисляем по нашей формуле. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет.

Например, возьмем n = 33. Имеем меньший катет (2n + 1) = 67; тогда по выведенной нами формуле R = 2,5 + 33(33+1) – 2 = 1122,5, следовательно, гипотенуза равна 2 R = 2245. По теореме Пифагора найдем второй катет: Таким образом, мы получаем тройку чисел (67; 2244; 2245).

Если известен меньший катет, так же можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника. Пусть он равен, допустим, 17. Тогда из равенства 2n+ 1 = 17 найдем 2n = 16, то есть n = 8. R вычисляем по нашей формуле: R = 2,5 + 8(8+1) – 2 = 72,5. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R = 145 , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет: .

Таким образом, мы получаем тройку чисел (17;144;145).

То есть выведенную формулу можно использовать для нахождения новых пифагоровых троек: а = 2n + 1; в = 2n(n+1); с = 2n(n+1) +1; для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей для пифагоровых треугольников.

То есть, я предлагаю генератор треугольников Герона (или пифагоровых троек) первого класса:


источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-pifagora-formula

http://school-science.ru/5/7/35146