Пифагора формула треугольника калькулятор

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора является основополагающим звеном в Евклидовой геометрии, на котором базируются большая часть всех вытекающих из теоремы Пифагора следствий и других теорем. Выведенная еще в VI веке до нашей эры, теорема связывает стороны прямоугольного треугольника простым уравнением, и имеет множество доказательств, одно из которых объединяет в себе как алгебру, так и геометрию.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике есть катеты a и b – это стороны прилегающие к прямому углу, и сумма их квадратов дает квадрат гипотенузы – третьей стороны треугольника, лежащей напротив прямого угла.

Доказать это можно, построив четыре прямоугольных треугольника так, чтобы на длинном катете каждого из них был расположен короткий катет следующего треугольника, при этом вершины углов совпадают.

Как видно из рисунка, общая фигура представляет собой квадрат со стороной c, являющей одновременно гипотенузой данных треугольников, а площадь этой фигуры равна c 2 , согласно формуле площади квадрата. Помимо того, что этот квадрат включает в себя четыре прямоугольных треугольника площадью , в центре его находится еще один, маленький квадрат. Сторона маленького квадрата равна разности катетов, следовательно, его площадь будет равна квадрату этой разности. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Представим площадь большого квадрата в виде суммы площадей маленького квадрата и четырех треугольников по принципу суперпозиции.

Таким образом, площадь квадрата одновременно равна гипотенузе во второй степени и сумме катетов во вторых степенях, что и требовалось доказать. a 2 +b 2 =c 2

Калькулятор теоремы Пифагора

Теорема Пифагора – фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.

История теоремы

На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос. Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае. Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.

Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее. Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках. Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в «Началах» Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.

Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи, Альберта Эйнштейна и президента США Джеймса Гарфилда.

Доказательства

В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.

Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:

  • единицу в случае с квадратом – S = a 2 ;
  • приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
  • Пи в случае с кругом – S = pi × R 2 .

Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a 2 , где F – некоторый коэффициент.

Прямоугольный треугольник – удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:

S = F × гипотенуза 2

В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:

  • S1 = F × c 2 – исходный треугольник;
  • S2 = F × a 2 – первый подобный треугольник;
  • S3 = F × b 2 – второй подобный треугольник.

Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:

что и требовалось доказать.

Пифагоровы тройки

Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки – это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a 2 + b 2 = c 2 . Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол. Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам:

При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач.

Применение теоремы Пифагора

Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни.

Выбор пиццы

В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше – это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц?

Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга – это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка – это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 50 2 = 30 2 + 40 2 . Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см. Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношение c 2 = a 2 + b 2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.

Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки.

Заключение

Теорема Пифагора – фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c 2 = a 2 + b 2 .


источники:

http://allcalc.ru/node/137

http://bbf.ru/calculators/124/