Отношение сторон треугольника задачи

Подобные треугольники

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$\frac=\frac=\frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$\frac=\frac$ и $\angle A_1 = \angle A_2$
или
$\frac=\frac$ и $\angle B_1 = \angle B_2$
или
$\frac=\frac$ и $\angle C_1 = \angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$\frac=\frac=\frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$\frac = \frac<3> <6>= \frac = \frac = \frac = \frac<1> <2>\Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$\frac = \frac<7> <11>= \frac = \frac<15> \Rightarrow CA = \frac<15 \times 11> <7>= 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$\frac = \frac<3> <9>= \frac = \frac<8> \Rightarrow AB = \frac<8 \times 9> <3>= 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = \sqrt = \sqrt <24^2 + 9^2>= 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$\frac = \frac = \frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$\frac = \frac<1.6> <2.8>= \frac = \frac <5 + AC>\Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$

$(2.8 — 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac<8> <1.2>= 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Решение задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

Урок №4. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»»

Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Задачи: обобщить теоретические знания учащихся и закрепить навыки решения задач по теме.

Ответьте на вопросы:

— в каком случае существует треугольник с тремя сторонами?

— в любом треугольнике против большей стороны лежит…?

— в любом треугольнике против меньшего угла лежит…?

Открываем тетради и записываем сегодняшнее число и тему урока. Скоро контрольная работа, так что начинаем повторять пройденный материал. Выполняем письменно приведенные задания.

Задача №1. В равнобедренном треугольнике одна из сторон равна 13, а другая 26. Найти основание треугольника.

Дано: АВС – равнобедренный треугольник, стороны 13 и 26.

Решение. Так как конкретно не сказано по условию задачи, какие из сторон равны 13 и 26, то решение разобьется на 2 случая. И в каждом из случаев нам необходимо будет проверять неравенство треугольников.

1 случай. Пусть АВ=ВС=13, тогда АС=26. Проверим неравенство треугольников и посмотрим, может ли существовать треугольник с такими сторонами.

Должно выполняться: каждая из сторон меньше суммы двух других.

Подставим наши числа:

Так как идет нарушение в последнем неравенстве, значит треугольника с такими сторонами не существует.

2 случай. Пусть АВ=ВС=26, тогда АС=13. Проверим неравенство треугольников и посмотрим, может ли существовать треугольник с такими сторонами.

Подставим наши числа:

Все неравенства выполняются, значит треугольник с такими сторонами существует.

Ответ: основание равно 13.

Задача №2. Углы треугольника относятся как 1:6:8. Найдите угол А, если сторона ВС наименьшая.

Дано: треугольник АВС, ВС – наименьшая, А:В:С=1:6:8.

Решение. По условию сказано, что сторона ВС – наименьшая. Это значит, что угол, лежащий против этой стороны, так же наименьший. Значит на угол А приходится 1 часть отношения. Введем переменную х – 1 часть отношения. Тогда угол А=х, угол В=6х, угол С=8х. Вспоминаем, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Составим и решим уравнение:

Задача №3. Расстояние от точки А до прямой а на 2 см меньше, чем длина наклонной, проведенной из этой же точки, а их сумма равна 18 см. Найти расстояние от точки А до прямой а.

Решение. По условию известно, что АВ меньше на 2 см, чем АС. Значит, наоборот АС на 2 см больше, чем АВ. Введем переменную х. Пусть АВ=х, тогда АС=х+2. Известна их сумма АВ+АС=18 см. Составим и решим уравнение:

За х мы обозначали АВ, значит АВ=8 см.

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Задача №1. Углы треугольника относятся как 3:4:5. Найдите угол В, если сторона АС наибольшая.

(Подсказка: тут угол В лежит против большей стороны, значит на него приходится самая большая часть из отношения углов. Решение подобно задаче №2 из практической части)

Задача №2. Перпендикуляр, опущенный из точки М на прямую а, на 8 см меньше, чем длина наклонной, проведенной из этой же точки, а их сумма равна 18 см. Найти длину перпендикуляра.

(Решение подобно задаче №3 из практической части)

«Решение задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока «Решение задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

Образовательная: Создать условия для применения теоретического материала при решении задач, обеспечить в ходе урока ликвидацию пробелов в знаниях учащихся.

Развивающие: Способствовать развитию умений выделять главное, существенное, развитие умений логического мышления, развитие самостоятельности.

Воспитательная: Формировать познавательную активность, ответственность за свою деятельность.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Оборудование: учебник геометрии, индивидуальные карточки, тетради, мел, доска.

Организационный момент, постановка цели. 3мин

Девиз урока: «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу». Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, сообщение цели и темы урока через решение анограммы(в словах изменен порядок букв): ОЛГУ (УГОЛ)

Тема урока «Решение задач по теме: «Соотношение между сторонами и углами треугольника».

Цель урока: повторить, обобщить и систематизировать знания по теме (вывесить на доску).

1) Устная работа: игра “Блеф-клуб”.

1. Верите ли вы, что углы треугольника могут быть равны:

а) 40°; 80°; 60°? (да, т.к. их сумма равна 180°)
б) 43°; 68°; 70°? (нет, т.к. их сумма не равна 180°)
в) 60°12`; 69°48`; 50°? (да, т.к. их сумма равна 180°)

2. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике:

а) угол при основании может быть равен 100°? (нет, т.к. сумма двух углов при основании будет уже больше 180°)
б) угол при вершине может быть равен 100°? (да, тогда при основании углы будут по 40°)

3. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть:

а) больше каждого из внутренних углов? (да, если треугольник – остроугольный)
б) меньше каждого из внутренних углов? (нет, по теореме о внешнем угле треугольника)

4. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть равен 180°? (нет, т.к. такого треугольника не существует)

5. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике с углом при основании в 40° основание больше боковой стороны? (да, т.к. угол при вершине будет 100°, а значит самый большой)

6. Верите ли вы, что катет больше гипотенузы? (нет, т.к. он лежит в прямоугольном треугольнике напротив острого угла)

7. Верите ли вы, что из проволоки, длиной 12 см, можно согнуть равнобедренный треугольник:

а) с боковой стороной 3 см? (нет, т.к. 3 см+3 см=6 см)
б) с основанием 3 см? (да, т.к. 3 см

2) Найти неизвестные углы треугольника :

В треугольнике сумма углов равна…

Внешний угол треугольника равен…

3. Каждая сторона треугольника … суммы двух других сторон.

4. В треугольнике против большей стороны лежит

5. В треугольнике против меньшего угла лежит …

6. Если в треугольнике два угла равны, то…

7. Сумма двух сторон треугольника …

8. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется…

9.Длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике…

10. Во всяком треугольнике против равных сторон лежат…

Пока учитель работает устно с классом, ученики, которые не всё воспринимают на слух, работают по индивидуальным карточкам:

А1. Верно ли высказывание?

1) Сумма углов треугольника равна 180 0 .

2) Если все углы треугольника острые, то треугольник называется прямоугольным.

3) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

4) Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами.

5) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

6) Если треугольник равнобедренный, то углы при основании этого треугольника равны.

А2. Выполните тест.

1. В треугольнике АВС: АС>ВС>АВ. Какой угол больший?

2. В треугольнике АВС: АВ=15см, ВС=10см, СА=8см. Укажите меньший угол треугольника.

3 В треугольнике АО D : . Какой это треугольник?

4. Может ли быть треугольник со сторонами 6см, 3см и 3см?

а) может; б) не может; в) нет правильного ответа.

А3. Найдите неизвестный угол треугольника.

А1. Верно ли высказывание?

1) Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

2) Если один из углов прямой, то треугольник остроугольный .

3) В треугольнике может быть один острый и два прямых угла.

4) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

5) В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

6) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

А2. Выполните тест.

1. В треугольнике АВС: АС>ВС>АВ. Какой угол меньший?

2. В треугольнике АВС: АВ=15см, ВС=10см, СА=8см. Укажите больший угол треугольника.

3. В треугольнике АО D : . Какой это треугольник?

а) прямоугольный й;

4. Может ли быть треугольник со сторонами 6см, 6см и 3см?

а) не может; б) может; в) нет правильного ответа.

А3. Найдите неизвестный угол треугольника.

Закончив опрос учащихся, ученики сдают карточки индивидуальной работы.

Решение задач у доски и в тетрадях.

*Перенести условие на рисунок.

1. АВС – равнобедренный (по условию) с основанием АС =>

2. АD – биссектриса (по условию) =>

3. Рассмотрим АDС.

3. АВС =>

Доказать: ВDС – равнобедренный.

Устно, по наводящим вопросам, находим путь решения.

1. С помощью чего устанавливается факт равнобедренности треугольника? (по определению: должны быть две равные стороны; по признаку: должны быть два равных угла)

2. С учетом условия задачи чем воспользуемся? (признаком, т.к. даны величины углов)

3. Величина какого угла ВDС известна? (

4. Величину какого угла ВDС можно найти? (

5. АВС)

6. Можно ли найти величину АВС,

7. Тогда какова величина

8. Делаем вывод об углах DВС (

9. Делаем вывод о DВС ( DВС – равнобедренный по признаку)

Решение записывает ученик у доски.

1. Рассмотрим АВС

2. ВD – биссектриса (по условию) =>

3. Рассмотрим DВС.

DВС – равнобедренный.

Что и требовалась доказать.

Домашнее задание №240,241

Рефлексия. Итог урока. Сравнение предполагаемой оценки с реально полученной. Что получалось ? в чем были затруднения ?


источники:

http://multiurok.ru/index.php/files/reshenie-zadach-po-teme-sootnosheniia-mezhdu-storo.html

http://infourok.ru/reshenie-zadach-po-teme-sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-3825005.html