Отношение сторон треугольника 30

ПОЛНОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТРЕУГОЛЬНИКУ 30-60-90 (С ФОРМУЛАМИ И ПРИМЕРАМИ) — СТЕБЕЛЬ — 2022

30-60-90 Треугольная диаграмма

Джон Рэй Куэвас

Треугольник 30-60-90 — это уникальный прямоугольный треугольник. Это равносторонний треугольник, разделенный на две части по центру посередине, а также по высоте. Треугольник 30-60-90 градусов имеет угловые меры 30 °, 60 ° и 90 °.

Треугольник 30-60-90 является особым прямоугольным треугольником, потому что он имеет согласованные значения длины и первичное соотношение. В любом треугольнике 30-60-90 самый короткий отрезок по-прежнему находится под углом 30 градусов, более длинный отрезок — это длина короткого отрезка, умноженная на квадратный корень из 3, а размер гипотенузы всегда в два раза больше длины отрезка. короче ноги. С математической точки зрения, ранее упомянутые свойства треугольника 30-60-90 могут быть выражены в уравнениях, как показано ниже:

Пусть x будет стороной, противоположной углу 30 °.

  • x = сторона, противоположная углу 30 ° или иногда называемая «более короткой стороной».
  • √3 (x) = сторона, противоположная углу 60 ° или иногда называемая «длинной ногой».
  • 2x = сторона, противоположная углу 90 ° или иногда называемая гипотенузой

30-60-90 Теорема о треугольнике

Теорема о треугольнике 30-60-90 утверждает, что в треугольнике 30-60-90 гипотенуза вдвое длиннее более короткого катета, а более длинное катет представляет собой квадратный корень из трехкратной длины более короткого катета.

30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике

Джон Рэй Куэвас

30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике

Дан треугольник ABC с прямым углом C, угол A = 30 °, угол B = 60 °, BC = a, AC = b и AB = c. Нам нужно доказать, что c = 2a и b = квадратный корень из a.

30-60-90 Подробное доказательство теоремы о треугольнике

Заявления Причины

1. Прямой треугольник ABC с углом A = 30 °, углом B = 60 ° и углом C = 90 °.

2. Пусть Q — середина стороны AB.

2. Каждый сегмент имеет ровно одну среднюю точку.

3. Постройте сторону CQ, медиану стороны гипотенузы AB.

3. Постулат прямой / определение медианы треугольника.

4. Теорема о медиане.

5. Определение промежуточности

6. Определение медианы треугольника.

7. Закон замещения

9. Закон замещения

10. Мультипликативный обратный

12. CQ = AQ; CQ = BQ

12. Определение конгруэнтных сегментов.

13. Теорема о равнобедренном треугольнике.

14. Определение конгруэнтных сторон

16. m∠ B + m∠ BCQ + m∠BQC = 180

16. Сумма углов треугольника равна 180.

17. 60 + 60 + m∠ BQC = 180

17. Закон замещения

19. Треугольник BCQ равносторонний и, следовательно, равносторонний.

19. Определение равностороннего треугольника.

20. Определение равностороннего треугольника.

Чтобы доказать, что AC = √3BC, мы просто применим теорему Пифагора, c 2 = a 2 + b 2 .

AB 2 = (1 / 2AB) 2 + AC 2

AB 2 = (AB 2 ) / 4 + AC 2

Ранее доказанная теорема говорит нам, что если нам дан треугольник 30-60-90, как на рисунке с 2x в качестве гипотенузы, длины катетов будут отмечены.

30-60-90 Формула треугольника и таблица горячих клавиш

Джон Рэй Куэвас

30 60 90 Формула треугольника и ярлыки

Если одна сторона треугольника 30-60-90 известна, найдите две другие недостающие стороны, следуя формуле шаблона. Ниже приведены три различных типа и условий, которые обычно встречаются при решении задач треугольника 30-60-90.

  • Учитывая более короткую ногу, «а».

Измерение более длинной стороны — это длина более короткого отрезка, умноженная на √3, а размер гипотенузы в два раза больше длины более короткого отрезка.

  • Учитывая более длинную ногу, «b.»

Измерение более короткой стороны — это более длинный отрезок, деленный на √3, а гипотенуза — это более длинный отрезок, умноженный на 2 / √3.

  • Учитывая гипотенузу, «c».

Мера более короткого отрезка — это длина гипотенузы, деленная на два, а более длинная — это мера гипотенузы, умноженная на √3 / 2.

Пример 1. Определение размера недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом гипотенузы

Найдите размер недостающих сторон при измерении гипотенузы. Учитывая, что самая длинная сторона c = 25 сантиметров, найдите длину более короткой и длинной ножек.

Определение размера недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом гипотенузы

Джон Рэй Куэвас

Решение

Используя формулы сокращенного шаблона, формула решения короткого отрезка с учетом меры гипотенузы выглядит так:

Используйте приведенные ранее формулы быстрого доступа. Формула решения длинного отрезка: половина гипотенузы, умноженная на √3.

Окончательный ответ

Более короткая нога a = 12,5 сантиметра, а более длинная нога b = 21,65 сантиметра.

Пример 2: Определение размеров недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом более короткого отрезка

Найдите размеры недостающих сторон, как показано ниже. Зная длину более короткой ноги a = 4, найдите b и c .

Определение размера недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом более короткого отрезка

Джон Рэй Куэвас

Решение

Давайте решим самую длинную сторону / гипотенузу c , следуя теореме о треугольнике 30-60-90. Напомним, что согласно теореме гипотенуза c вдвое длиннее более короткого катета. Подставьте значение более короткого отрезка в формулу.

Согласно теореме о треугольнике 30-60-90, более длинная часть представляет собой квадратный корень из трехкратной длины более короткой части. Умножьте размер более короткой ноги a = 4 на √3.

Окончательный ответ

Значения недостающих сторон b = 4√3 и c = 8.

Пример 3: Определение высоты равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Вычислите длину указанного ниже треугольника, учитывая длину гипотенузы c = 35 сантиметров.

Определение высоты равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Как показано на рисунке выше, данная сторона является гипотенузой c = 35 сантиметров. Высота данного треугольника — более длинная ножка. Решите относительно b, применив теорему о треугольнике 30-60-90.

Окончательный ответ

Длина высоты 30,31 сантиметра.

Пример 4: Определение высоты равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Вычислите длину заданного треугольника на высоте ниже, учитывая угол 30 ° и размер одной стороны 27√3.

Определение высоты равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Из двух разделенных прямоугольных треугольников образовались две части по 30-60-90 треугольников. Высота данного треугольника является более коротким отрезком, так как это сторона, противоположная 30 °. Сначала определите размер более длинной ноги b.

Найдите высоту или более короткий отрезок, разделив длину более длинного отрезка на √3.

Окончательный ответ

Высота данного треугольника 13,5 сантиметра.

Пример 5: Поиск недостающих сторон для одной стороны треугольника 30-60-90

Используйте рисунок ниже, чтобы вычислить меру недостающих сторон треугольника 30-60-90.

  1. Если c = 10, найдите a и b.
  2. Если b = 11, найдите a и c.
  3. Если a = 6, найдите b и c.

Нахождение недостающих сторон на одной стороне треугольника 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Обратите внимание, что данное c — гипотенуза треугольника. Используя формулы быстрого доступа, найдите a и b.

Обратите внимание, что данное b является более длинным участком треугольника 30-60-90. Используя формулы паттернов, найдите a и c. Рационализируйте полученное значение, чтобы получить точную форму.

a = 11 / √3 единиц

c = (22√3) / 3 единицы

Данное значение представляет собой более короткий отрезок треугольника 30-60-90. Используя теорему о треугольнике 30-60-90, найдите значения b и c.

Окончательный ответ

  1. a = 5 единиц и b = 5√3 единиц
  2. a = 11√3 единиц и c = (22√3) / 3 единицы
  3. b = 6√3 единиц и c = 12 единиц

Пример 6: Нахождение недостающих сторон сложного треугольника

Учитывая ΔABC с углом C, прямой угол и сторона CD = 9 — это высота до основания AB, найдите AC, BC, AB, AD и BD, используя формулы шаблона и теорему 30-60-90 о треугольнике.

Нахождение недостающих сторон в сложном треугольнике

Джон Рэй Куэвас

Решение

Два треугольника, составляющие всю треугольную фигуру, составляют 30-60-90 треугольников. Учитывая CD = 9, решите AC, BC, AB, AD и BD, используя шаблоны быстрого доступа и теорему о треугольнике 30-60-90.

Обратите внимание, что угол C — это прямой угол. Учитывая угловую меру B = 30 °, угловая мера части угла C в ΔBCD составляет 60 °. Это делает оставшуюся часть угла в ΔADC углом 30 градусов.

В ΔADC боковой CD — это более длинная ножка «b». Учитывая CD = b = 9, начните с AC, которая является гипотенузой ΔADC.

В ΔBCD боковая сторона CD — это более короткая ножка «а». Решите относительно BC, гипотенузу в ΔBCD.

Решите для AD, который является более коротким отрезком в ΔACD.

AD = 9 / √3 единиц

Решите для BD, который является более длинным отрезком в ΔBCD.

Сложите результаты в 3 и 4, чтобы получить значение AB.

Окончательный ответ

Окончательные ответы: AC = 6√3 единиц, BC = 18 единиц, AD = 9 / √3 единиц, BD = 9√3 единиц и AB = 12√3 единиц.

Пример 7: тригонометрическое применение треугольника 30-60-90

Какова длина лестницы, которая образует угол 30 ° со стороной дома и основание которой опирается на 250 сантиметров от носка дома?

Тригонометрическое приложение треугольника 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Используйте диаграмму, показанную выше, чтобы решить задачу треугольника 30-60-90. Используя теорему о треугольнике 30-60-90 и учитывая b = 250 сантиметров, решите относительно x.

Используя свойство равенства умножения, найдите x.

х = 500 сантиметров.

Окончательный ответ

Следовательно, длина лестницы составляет 500 сантиметров.

Пример 8: Определение высоты равностороннего треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Какова высота равностороннего треугольника со сторонами по 9 сантиметров?

Определение высоты равностороннего треугольника с помощью теоремы о треугольнике 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Постройте высоту от A и назовите ее стороной AQ, как на рисунке выше. Помните, что в равностороннем треугольнике высота также является срединой и биссектрисой угла. Следовательно, треугольник AQC — это треугольник 30-60-90. Исходя из этого, решите AQ.

Окончательный ответ

Следовательно, высота треугольника составляет 7,8 сантиметра.

Пример 9: Нахождение площади двух треугольников 30-60-90

Найдите площадь равностороннего треугольника, стороны которого имеют длину s сантиметров.

Определение площади двух треугольников 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Используя формулу площади треугольника bh / 2, имеем b = «s» сантиметров и h = (s / 2) (√3) . Результатом подстановки будет:

Упростите полученное выше уравнение. Окончательное производное уравнение — это прямая формула, используемая при задании стороны равностороннего треугольника.

Окончательный ответ

Заданная площадь равностороннего треугольника равна / 4.

Пример 10: Определение длины сторон и площади равностороннего треугольника с использованием формул треугольника 30-60-90

Равносторонний треугольник имеет высоту 15 сантиметров. Какова длина каждой стороны и какова ее площадь?

Определение длины сторон и площади равностороннего треугольника по формулам треугольника 30-60-90

Джон Рэй Куэвас

Решение

Данная высота представляет собой более длинную ногу из 30-60-90 треугольников. Решите для s.

s = 10√3 сантиметра

Поскольку значение s равно 10√3 сантиметра, подставьте значение в формулу площади треугольника.

Окончательный ответ

Длина каждой стороны 10√3 см, а площадь 75√3 см 2 .

Треугольник. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.

Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30°, будет равняться половине гипотенузы.

Изобразим прямоугольный треугольник АСВ с углом В = 30°. В этом случае второй его острый угол будет 60°.

Обоснуем, что катет АС равняется половине гипотенузы АВ то есть АС = 1/2АВ.

Продлим катет АС за вершину прямого угла С и начертим отрезок СМ, причем части равные СМ=АС. Прочертим ВМ, соединив таким образом точки В и М. Сформированные прямоугольные треугольники ВСМ и АСВ эквиваленты (равны по двум катетам). Наглядно видно, что всякий угол треугольника АМВ по 60°, значит можно сделать вывод, что образовавшийся треугольник — равносторонний.

Сторона АС = 1/2 АМ, а поскольку АМ = АВ, а значит и катет АС будет равен 1/2 гипотенузы АВ.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.


источники:

http://www.calc.ru/Treugolnik-Svoystvo-Pryamougolnogo-Treugolnika-S-Uglom-V-30.html

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamougolnie_treugolniki