Отношение синуса угла в треугольнике

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:



На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:


  • bc sinα = ca sinβ
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

    Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

    Острый угол — меньший 90 градусов.

    Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

    Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

    Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

    Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

    Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

    Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

    Давайте докажем некоторые из них.

    1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
    2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
    3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
    4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

    Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

    Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

    Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

    Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

    С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

    Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

    Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

    0
    0
    0
    0
    0

    Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

    1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

    Задача решается за четыре секунды.

    2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

    Найдем по теореме Пифагора.

    Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

    Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

    Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

    Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

    Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

    Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

    Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

    Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

    Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

    Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:


    источники:

    http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

    http://egemaximum.ru/sinus-kosinus-tangens-v-pryamougolnom-treugolnike/