Отношение площадей треугольников задача

Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»

Применение подобия для решения задач. Задачи для подготовки к ОГЭ в 9 классе

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»»

ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания .

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы

Дайте ответы на вопросы:

1. Что называют отношением отрезков AB и CD?

2. При каком условии отрезки AB, CD и A 1 B 1 , C 1 D 1 называют пропорциональными?

3. Назовите сходственные стороны треугольников ∆MKL и ∆PZD, если

4. Используя свойство биссектрисы треугольника, найдите KN, если OC=4см, CN=3см, OK=2см.

Теорема: «Об отношении площадей подобных треугольников» Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1

1. Так как по условию ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то

∠ A=∠A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников (п.53), значит

  • Две сходственные стороны подобных треугольников равны

8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см.

Чему равен периметр первого треугольника ?

2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны

9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 .

Чему равна площадь первого треугольника ?

3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны

5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 .

Чему равна площадь первого треугольника ?

4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 .

Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна

сходственная сторона второго треугольника ?

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 ,

1.Так как по условию

то по т . «Об отношении площадей подобных треугольников»:

2.Так как : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , а также

AC и A 1 C 1 – сходственные стороны, k=2, то

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , AC: A 1 C 1 =6:5

1.Пусть S A1B1C1 =x см 2 , S ABC =(x+77) см 2

2.Так как AC: A 1 C 1 =6:5 , то

3.По теореме об отношении площадей подобных треугольников:

Значит S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2

Ответ: S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2

Урок геометрии по теме «Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

  • Образовательные:
    • сформулировать и доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол;
    • применить теорему при решении задач на нахождение площадей многоугольников.
  • Развивающие: развивать интуицию, умения анализировать условие задачи, логически мыслить, обобщать полученные результаты.
  • Воспитательные: продолжать воспитывать самостоятельность и самоконтроль.

I. Организационный момент

Сообщается тема урока, формулируются его цели.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Устный опрос (фронтальная работа с классом).

Ответьте на вопросы:

1) Какие фигуры называются равносоставленными?
2) Как называются фигуры, имеющие равную площадь?
3) Верно ли, что равные фигуры имеют равные площади?
4) Верно ли, что равносоставленные фигуры имеют равные площади?
5) Верно ли, что разные фигуры имеют равные площади?
6) В треугольнике АВС АВ = 3АС.
— Чему равно отношение высот треугольника, проведенных из вершин В и С?
7) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Длина гипотенузы 10 см.
Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе.
8) Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Докажите, что:
а) треугольники АВD и ВАС имеют равные площади;
б) треугольники АОD и ВОС имеют равные площади;
9) В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Во сколько раз площадь треугольника АВD меньше площади треугольника АВС? Объясните. (Приложение 1)

2. Проверка домашнего задания.

Задача № 40 рабочей тетради. Один учащийся читает решение по своей тетради, остальные обсуждают и проверяют.

На рисунке точка М делит сторону АС треугольника ABC в отношении AM : МС = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника AВM.

***Далее проверяется дополнительная задача. Ее решение предлагается воспроизвести одному из учащихся, справившихся с этой задачей.

Дополнительная задача. Точка Е – середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН = НС. Найти площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС равна S.

III. Изучение нового материала

Формулирование и доказательство теоремы.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

3. Анализируем условие теоремы.

– Сформулируйте что дано в данной теореме: сколько треугольников рассматривается, какое условие накладывается на них?
Записываем условие теоремы:

– Сформулируйте заключение данной теоремы.
– Что называется отношением двух величин?
– О каких отношениях идет речь в теореме?
– Произведения каких сторон треугольников будем рассматривать, учитывая, что 2

Задача 2. Дано: 2 Найти: SKMN.

Задача 3. (с записью в тетради). Дано: ОА=8см; ОВ=6см; ОС=5см; SАОВ=36см 2 . Найти SCOD

V. Итог урока

Подвести итог урока и оценить работу учащихся.

Отношение площадей треугольников задача

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 32. Отношение площадей подобных треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Урок 32. Отношение площадей
подобных треугольников

Основные дидактические цели урока: закрепить понятия пропорциональных отрезков и подобных треугольников; совершенствовать навыки решения задач на применение свойства биссектрисы треугольника и определения подобных треугольников; рассмотреть теорему об отношении площадей подобных треугольников и показать ее применение в процессе решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся. Мотивация к учебной деятельности

1. Теоретический опрос.

(Один ученик оформляет доказательство теоремы на доске.)
1) Ответить на вопросы 1—3 учебника.
2) Доказать свойство биссектрисы треугольника.

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задач № 538, 542. Два ученика готовят решение на доске.)

Задача № 538

  • В каком отношении биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВСР.
  • Что можно сказать об отношении отрезков АВ и АС?
  • Составьте уравнение, используя отношение отрезков АВ и АС и значение периметра треугольника АВС.

Задача № 542

  • Какие треугольники называются подобными?
  • Чему равно отношение сходственных сторон MN и ВС, KN и AC?
  • Чему равны стороны треугольника KMN?

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3—6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности

  1. Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем КР : ME = PF : МТ = КЕ : ЕТ, ∠F = 30°, ∠Е = 49°. Найдите остальные углы этих треугольников.
  2. Биссектриса BD делит сторону АС треугольника АВС на отрезки AD и CD, равные соответственно 7 см и 10,5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если известно, что АВ = 9 см.

II уровень сложности

  1. ΔВВС подобен ΔАВС (рис. 7.3), AD = 16 см, DC = 9 см. ∠ABC и ∠BDA — тупые. Найдите ВС.
  2. Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24 см и 32 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

III уровень сложности

  1. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных треугольника АВС и ACD, ВС = 8 см, AD = 18 см. Найдите АС.
  2. В равнобедренном треугольнике точка Е — середина основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая BE делит отрезок АК.
  3. Решение задач по готовым чертежам для подготовки к восприятию нового материала (работа в парах).

Ответы и указания к задачам по готовым чертежам:

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

  • оценка «5» — правильно решены три-четыре задачи;
  • оценка «4» — правильно решены две задачи;
  • оценка «3» — правильно решена одна задача;
  • оценка «2» — не ставится.

III. Работа по теме урока

(Учитель делит класс на группы для решения задания творческого характера. После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

Задание. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия k. Найти отношение их площадей.

Вывод. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

IV. Закрепление изученного материала

  1. Работа в рабочих тетрадях. Решить задачу № 54. (Учащиеся самостоятельно решают задачу, по окончании работы один ученик вслух читает задачу и ее решение. Учащиеся его слушают, а затем исправляют ошибки.)
  2. Решить задачу № 545 (работа в парах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

Задача № 545

Вопросы для обсуждения.

  • Чему равно отношение площадей подобных треугольников, если их сходственные стороны относятся как 6 : 5?
  • Верно ли составлено уравнение исходя из условий задачи?
  1. Решить задачи № 547, 548 (работа в группах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

V. Самостоятельная работа

I уровень сложности

II уровень сложности

III уровень сложности

VI. Рефлексия учебной деятельности

  1. Какие треугольники называются подобными?
  2. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.
  3. Что можно сказать о площадях подобных треугольников?

Домашнее задание

  1. П. 60, вопросы 4 (учебник, с. 158).
  2. Решить задачи № 543, 544, 546, 549.
  3. Решить дополнительные задачи.

I уровень сложности: В подобных треугольниках АВС и KMN равны углы В и М, С и N, АС = 3 см, KN = 6 см, MN = 4 см, ∠AX = 30°. Найдите ВС, ∠K; отношение площадей треугольников AВС и KMN; АЕ и BE, если известно, что СЕ — биссектриса треугольника АВС, АВ = 3,5 см.

II уровень сложности: В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, АВ = 12 см, CD — высота. Докажите, что ΔACD подобен ΔАВС, найдите отношение их площадей и отрезки, на которые биссектриса угла А делит катет ВС.

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 32. Отношение площадей подобных треугольников.


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/659993

http://uchitel.pro/%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA-32-%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%B9-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%82%D1%80%D0%B5/