Отношение площадей равносторонних треугольников

Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников

Понятие подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов пропорциональны.

A B / K L = B C / L M = A C / K M = k , ∠ A = ∠ K , ∠ B = ∠ L , ∠ C = ∠ M ⇒ Δ A B C

Отношение длин подобных треугольников называют коэффициентом подобия (k).

Также пропорциональные стороны подобных треугольников могут быть названы сходственными сторонами.

В подобных треугольниках, кроме сторон, подобны и другие величины: биссектрисы, медианы, высоты и т.д.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка теоремы: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В геометрии существует три признака подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  3. Отношение длин соответствующих элементов подобных элементов равно коэффициенту подобия.

Доказательство теоремы

Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: изобразим подобные треугольники Δ A B C

Из подобия треугольников по определению следует: A B / K L = B C / L M = A C / K M = k .

Воспользуемся следующей теоремой: если у двух треугольников равны углы (∠A=∠K), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем в виде формулы:

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Площади подобных треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 равны соответственно 200 см² и 50 см². Сторона A1B1=5 см. Найдите сходственную ей сторону AB треугольника ABC.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников: S a b c / S a 1 b 1 c 1 = k ² ⇒ 200 / 50 = k ² ⇒ k = 2 .

A B / A 1 B 1 = 2 , A B = A 1 B 1 * 2 , A B = 5 * 2 = 10 с м .

ΔABC и ΔA1B1C1 — подобны. Сходственные стороны AC и A1C1 соответственно равны 13 см и 0,1 м.

Найдите отношение периметров ΔABC и ΔA1B1C1.

A 1 C 1 = 0 , 1 м = 10 с м

A C / A 1 C 1 = 13 / 10 = 1 , 3 ⇒ P a b c / P a 1 b 1 c 1 = 1 , 3

Задача для самостоятельной работы

Треугольники Δ A B C

Δ K L M подобны. Площадь ΔABC равна 500 см², площадь ΔKLM равна 125 см². Сторона AC равна 18 см, найти сходственную ей сторону KM.

Проверьте, насколько верный или неверный ваш ответ.

Советуем составить краткий конспект для подготовки к уроку.

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
\(\bullet\) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Факт 2.
\(\bullet\) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Факт 3.
\(\bullet\) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Факт 4.
\(\bullet\) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Факт 5.
\(\bullet\) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Факт 6.
\(\bullet\) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Факт 7.
\(\bullet\) Если прямые \(p\) и \(q\) параллельны, то

Факт 8.
\(\bullet\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\(\bullet\) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Найдите отношение площадей двух равносторонних треугольников если их периметры равны 9 см и 27?

Математика | 5 — 9 классы

Найдите отношение площадей двух равносторонних треугольников если их периметры равны 9 см и 27.

Равносторонние треугольники подобны, их периметры относятся друг к другу с коэффициентом подобия k = 9 / 27 = 1 / 3

Площади относятся друг к другу как квадрат коэффициента подобия :

Ответ : 1 / 9 (меньшая к большей, или 9 : 1, если большая к меньшей).

Периметр равностороннего треугольника равна 30 ?

Периметр равностороннего треугольника равна 30 .

Найдите его площадь , делённую на корень 3 .

Периметр равностороннего треугольника равна 21 ?

Периметр равностороннего треугольника равна 21 .

Из двух таких треугольников составили ромб, чему равен периметр ромба?

В равностороннем треугольнике ABC сторона равна 18см, а медиана 15?

В равностороннем треугольнике ABC сторона равна 18см, а медиана 15.

6см. Найди площадь и периметр треугольника ABD.

Сторона равностороннего треугольника равна а?

Сторона равностороннего треугольника равна а.

Найдите отношение медианы равностороннего треугольника к его высоте.

Помогите решить пожалуйста!

Найди периметр треугольника?

Найди периметр треугольника.

Составь из двух таких треугольников прямоугольник.

Найди его периметр и площадь.

Найди площадь треугольника.

Высота равностороннего треугольника равна 27 корней из 3?

Высота равностороннего треугольника равна 27 корней из 3.

Найдите его периметр.

Отношение площадей подобных треугольников равно 16 / 9?

Отношение площадей подобных треугольников равно 16 / 9.

Чему равно отношение периметров?

Отношение площадей подобных треугольников равно 16 / 9?

Отношение площадей подобных треугольников равно 16 / 9.

Чему равно отношение периметров?

Периметр равностороннего треугольника равен 21см?

Периметр равностороннего треугольника равен 21см.

Из двух таких треугольников составили ромб.

Найди его периметр.

Запиши решение задачи.

Периметр равностороннего треугольника равен 84 найдите его площадь деленную на корень из 3?

Периметр равностороннего треугольника равен 84 найдите его площадь деленную на корень из 3.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Найдите отношение площадей двух равносторонних треугольников если их периметры равны 9 см и 27?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Наименьшее общее кратное 1. 3 ; 2. 4 ; 3. 2 ; 4. 5 ; 5. 3 ; 6. 2 ; 7. 2 ; 8. 2 ; 9. 3 ; 10. 3 ; 11. 3 ; 12. 7. 1)3 и 7 ; 3 и 6. 2)4 и 6 ; 4 и 8. 3)2 и 8 ; 2 и 10. 4)5 и 4 ; 5 и 7. 5)3 и 25 ; 3 и 30. 6)2и 3 ; 2 и 6. 5. 7)2 и 7 ; 2 и ..


источники:

http://shkolkovo.net/theory/119

http://matematika.my-dict.ru/q/7050869_najdite-otnosenie-plosadej-dvuh-ravnostoronnih-treugolnikov/