Отношение площадей равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Площадь равностороннего треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь равностороннего треугольника. Для нахождения площади равностороннего треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Пусть в равносторннем треугольнике известна сторона a (a=b=c) (Рис.1):

Найдем площадь треугольника. Поскольку в треугольнике напротив равных сторон расположенные равные углы (см. статью Соотношения между сторонами и углами треугольника), то в равносторннем треугольнике все углы равны. Но сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно все три угла равностороннего треугольника равны 60°. Для треугольника ABH применим теорему синусов:

.

Учитывая, что , получим:

. (1)

Площадь треугольника по основанию и высоте имеет следующий вид:

. (2)

Подставляя (1) в (2), получим:

(3)

Пример 1. Сторона равностороннего треугольника равна a=5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значение a=5 в (3), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Пусть в равностороннем треугольнике известна высота h (Рис.1). Найдем площадь треугольника.

Найдем из формулы (1) a и подставим в (2):

(4)

Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна h=6.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя значение h=6.5 в (4), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус вписанной окружности r (Рис.2):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 2 равносторонний треугольник разделен га 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (см. статью Прямоугольный треугольник). Тогда:

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

(5)

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

. (6)

Найдем a из формулы (6):

,
. (7)

Подставляя (7) в (5), получим:

. (8)

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.
. (9)

Пример 3. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равна r=7.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (9). Подставляя значение r=7.5 в (9), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус описанной окружности R (Рис.3):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 3 равносторонний треугольник разделен на 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе. Тогда:

, ,

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

(10)

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

,
. (11)

Еще раз применим теорему синусов для треугольника OBE :

.
. (12)

Подставляя (11) и (12) в (10), получим:

. (13)

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.
. (14)

Пример 4. Радиус oписанной окружности равностороннего треугольника равна R=11.2. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (14). Подставляя значение R=11.2 в (14), получим:

Ответ:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.


источники:

http://matworld.ru/geometry/ploshchad-ravnostoronnego-treugolnika.php

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika