1 неверно что параллельные прямые не пересекаются

Новое в блогах

Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?

Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.

Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.

Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.

Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:

«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.

При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!

(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)

Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!

Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.

Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.

Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.

Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!

Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.

Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.

Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»

«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»

uCrazy.ru

Навигация

ЛУЧШЕЕ ЗА НЕДЕЛЮ

ОПРОС

СЕЙЧАС НА САЙТЕ

КАЛЕНДАРЬ

Сегодня день рождения

Рекомендуем

Когда пересекаются параллельные прямые

Из школьного курса геометрии каждому человеку известно, что параллельными именуются прямые, которые не имеют общей точки. Однако это простое утверждение почему-то изредка опровергается различными знакомыми, которые доказывают, что коллинеарные линии могут пересекаться. В реальности, геометрия Евклида, которую преподают в школе не единственный вариант этой науки. При более конкретном исследовании выясняется, что пересечение параллельных прямых зависит от формы поверхности, на которой они проведены. Рассмотрим несколько различных вариантов геометрий, принципиально отличающихся друг от друга.

Это привычная всем геометрия, имеющая историю в не одну тысячу лет. Ее начала были известны еще в Древнем Египте, а аксиомы (постулаты, утверждения) были сформулированы в Древней Греции выдающимся математиком древности Евклидом. Все его утверждения не вызывали сомнений, кроме пятого. Это утверждение показывало, что через точку, лежащую вне прямой, есть возможность провести единственную прямую коллинеарную заданной. Коллинеарные прямые в этом случае не пересекаются. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Однако попытки математически доказать 5 постулат Евклида упирались в порочный круг.

Однако житейский опыт дает возможность не совсем верить в справедливость утверждения, что параллельные прямые не пересекаются — если смотреть на ровное железнодорожное полотно, то будет впечатление, что где-то вдалеке параллельные рельсы сойдутся в одну точку. То же самое касается и лучей идущих от точечного источника — тени от разных предметов параллельны, но оставившие их лучи вышли из одной точки.

Приведенные выше рассуждения дали возможность создать проективную геометрию, которая дополняет привычную Евклидову прямую бесконечно удаленной точкой, а на плоскости появляется прямая бесконечно удаленных точек. Вот на этой прямой и пересекаются все коллинеарные прямые.

В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Прямые, которые пересекаются с заданной прямой еще дальше, называются сверхпараллельными.

Наглядно это можно представить, если изобразить плоскость, как овал, и провести внутри него прямую. Линия границы овала будет представлять в таком варианте прямую бесконечно удаленных точек. Затем вне данной прямой зафиксируем точку и проведем через нее 2 прямые, пересекающие заданную на границе овала (то есть на прямой бесконечно удаленных точек). Эти 2 прямые и будут называться параллельными. Те же прямые, которые пересекаются с данной прямой за пределами овала окажутся сверхпараллельными.

Согласно последним научным данным, геометрия Лобачевского имеет место в реальной природе вблизи крупных тяготеющих масс, где само пространство перестает быть плоским и получает кривизну. Сумма углов треугольника в этом варианте не достигает 180 градусов.

Сферическая геометрия и геометрия Римана

Тоже в 19 веке немец Риман по-своему проанализировал 5 утверждение Евклида и предположил, что коллинеарных прямых нет в принципе. На основании своего предположения Риман создал геометрию, в которой у всех прямых имеется общая точка, а сумма углов треугольника превышает 180 градусов. Нет в геометрии Римана и понятия, что точка лежит между двумя другими точками. Но это вполне реальная с математической точки зрения геометрия.

Объяснить римановскую геометрию на доступном примере сложно, поэтому имеет смысл обратиться к близкой к ней по множеству характеристик сферической геометрии (правда, здесь параллельные прямые пересекаются сразу в 2 точках).

Рассмотрим в качестве сферы нашу планету Земля. Как одну из прямых возьмем экватор, а в качестве коллинеарных между собой прямых будем считать меридианы. Они коллинеарны друг относительно друга, поскольку пересекают экватор под прямым углом (углом между пересекающимися линиями в математике является угол между их касательными, проведенными в точке пересечения данных линий). Однако известно, что меридианы пересекаются на полюсах.

Общим выводом, ради которого была написана статья, является утверждение, что нельзя достоверно сказать, пересекаются параллельные прямые или нет, если дополнительно не указывать, какой из видов геометрии имеется в виду.

Параллельные прямые пересекаются: миф или реальность?

Рассказывается о непересечении параллельных прямых в геометриях Евклида и Лобачевского и о их несуществовании в сферической геометрии древних греков и геометрии Римана

Скачать:

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Вложение Размер
prezentatsiya_microsoft_office_powerpoint.pptx 1.21 МБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Автор: Панкратов Влад Научный руководитель: Попова Е.А . Параллельные прямые пересекаются: миф или реальность?

Актуальность: параллельные прямые не пересекаются в школьном курсе геометрии, но почему рельсы на горизонте сходятся? И есть предположение , что параллельные прямые пересекаются. Так ли это? Я и решил выяснить.

Происхождение понятия параллельных прямых . От Евклида Евкли́д ( 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик, автор “Начал”. Начала Евклида- это сборник математических трудов, который состоит из 13 книг. В первой книге рассматриваются 5 важных постулатов .

Рассмотрим примечательные 5 постулатов “Начал” Евклида: 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых

Необычность 5 постулата Евклида В течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить 5 постулат из списка аксиом и вывести как теорему, как получилось с 4 постулатом. Все эти попытки окончились неудачей.

Источник понятия “ параллельные прямые ” Следствием 5 постулата является понятие параллельных прямых , не пересекающихся на всем их протяжении; и, далее, аксиома параллельности: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой .

В результате безуспешных попыток доказать 5 постулат возникли неевклидовые геометрии. Рассмотрим их: Геометрия Николая Ивановича Лобачевского. Сферическая геометрия древних греков. Геометрия Георгия Римана.

Лобачевский Николай Иванович Годы жизни : 1792 – 1856 ( Нижний Новгород – Казань) Ректор Казанского университета “ Коперник геометрии ”

Геометрия Лобачевского Ответ с улицы: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются.» «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься». «А что такое параллельные прямые?» «Параллельные — это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». Несовместимые ответы!

Ф ольклор ( folklore — народная мудрость): Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто: Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то! И он вгляделся пристальней в безоблачную высь, И там все параллельные его пересеклись.

Диалоги на “ Эхе Москвы ” В е н е д и к т о в . Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются? С л у ш а т е л ь . Нет. В е н е д и к т о в . А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта. Леонид Радзиховский : «Вот когда Лобачевский придумал свою неевклидову геометрию, что две параллельные прямые могут пересечься, — это был действительно переворот в области геометрии и физики».

Аксиомы о параллельных Правильная формулировка : через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой . В школьном курсе ( Атанасян Л.С.): через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. В версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой . Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные друг другу прямые не пересекаются даже у Лобачевского!

Важно: А ксиому о параллельных доказать нельзя . В третьем десятилетии XIX в. два великих геометра — российский математик Николай Иванович Лобачевский и венгерский математик Янош Б о йаи —независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию за рубежом, как правило, называют геометрией Лобачевского– Бойаи , а в России — геометрией Лобачевского . У нее есть и «обезличенное» название — гиперболическая геометрия . Геометрия Лобачевского применима в космологии, если учесть, что наше пространство искривлено гиперболически .

“ Плоскость ” Лобачевского — “ седло ” , “ воронка ” Лобачевский Николай Иванович умер, не дожив до признания своей теории 10 лет, осмеянный, больной, в нищете, его уволили из университета. Янош Бойаи сошел с ума, не получив отклика и поддержки своих идей у математиков того времени (у Карла Гаусса – короля математиков)

Сферическая геометрия Древних Греков. Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии. Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съемках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.

I век нашей эры Древняя Греция Геометрический труд “ Сферика ” – аналогично “ Началам ” Евклида Менелай Александрийский

Особенности сферической геометрии Прямые – большие круги (меридианы, экватор, параллели – малые круги ) Есть двуугольник У сферического треугольника могут быть все три угла прямыми Сумма углов треугольника меньше 3П, но больше П Две прямые пересекаются дважды (например, на северном и южном полюсах) Нет понятия параллельности

Геометрия Римана Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т.е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).

Годы жизни: 1826 – 1866 (Германия – Италия) Место работы: Гёттингенский университет Научная сфера: математика, механика, физика Основатель римановой геометрии Георг Фридрих Бернхард Риман

Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены. В геометрии Римана любые прямые пересекаются , и таким образом, в ней нет параллельных прямых . Геометрия Римана не является абсолютной геометрией, ей нет практического применения.

Заключение : Итак, подводя итоги, ответим на вопрос: “Параллельные прямые пересекаются”? Нет , в идеале они не пересекаются ни у Евклида (2 параллельные прямые), ни у Лобачевского (прямая и пучок прямых в незримо больших масштабах) – это миф. Но нет дыма без огня: параллельных прямых не существует в сферической геометрии древних греков и в геометрии Римана. А в реальности: нет прямых, как нет и других объектов геометрии, поэтому одна прямая или их несколько, параллельных данной.


источники:

http://ucrazy.ru/interesting/1552208619-kogda-peresekayutsya-parallelnye-pryamye.html

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/09/05/parallelnye-pryamye-peresekayutsya-mif-ili-realnost